Aký je najlepší spôsob, ako nájsť sqrt (13) bez použitia kalkulačky?

odpoveď:

Navrhol by som Newtonovu metódu, aj keď nie som pripravený tvrdiť, že je to jednoduchšie, než uhádnuť a skontrolovať, potom odhadnúť.

vysvetlenie:

Newtonova metóda je iteratívna metóda aproximácie. (Funguje to z dôvodu počtu, ale táto otázka je uverejnená v algebre, takže to nechajme na pokoji.)

Urobte prvú aproximáciu. Vo vašom príklade, povedzme # x_1 = 3 #

Ďalšia aproximácia je: # x_2 = 1/2 (13 / x_1 + x_1) #

Inými slovami, rozdeliť #13# aktuálnou aproximáciou a priemerom, ktorý je pri vašej poslednej aproximácii.

vedieť # # X_n, nájdeme #x_ (n + 1) # od:

#x_ (n + 1) = 1/2 (13 / x_n + x_n) #

Tak dostaneme: # x_1 = 3 #

Nájsť # # X_2:

#13/3 = 4.33#

Priemer našej súčasnej aproximácie, #3# a kvocient #4.33# je #3.67#

tak # x_2 = 3,67 #

Nájsť # # X_3:

#13/3.67 = 3.54#

Priemer našej súčasnej aproximácie, #3.67# a kvocient #3.54# je #3.61#

tak # x_3 = 3,61 #

Áno, to bolo zdĺhavé robiť výpočty.

odpoveď:

Existuje (možno nie dobre známa) metóda na nájdenie druhej odmocniny čísla, ktoré som sa pokúsil demonštrovať nižšie.

vysvetlenie:

Začnite ako keby ste nastavovali dlhé delenie (ale všimnite si neprítomnosť deliteľa). Číslo je rozdelené do blokov s 2 číslicami s toľkými pármi núl za desatinnou čiarkou, koľko chcete zapisovať. Desatinná čiarka by mala byť napísaná priamo nad desatinnou čiarkou čísla, pre ktoré sa pokúšate nájsť druhú odmocninu (zdá sa, že som stratila moju).

Rozhodnite sa pre najväčšiu číslicu, ktorej štvorec nie je väčší ako prvý pár číslic hodnoty, s ktorou pracujete, a zadajte ich tak, ako je uvedené nižšie

Vynásobte číslo nad čiarou číslom vľavo od zvislej čiary a odčítajte tento produkt od hodnoty nad ním.

Skopírujte nasledujúci pár číslic ako príponu k predchádzajúcemu zvyšku.

Zdvojnásobte hodnotu nad čiarou a povoľte príponu (v tomto prípade 3 sa stane niečím medzi 60 a 69; ešte sa nedá určiť).

Určite najväčšiu číslicu, ktorá pri použití ako číslica prípony naľavo a potom použitá na násobenie výslednej hodnoty nie je väčšia ako pracovná hodnota (v tomto prípade nie väčšia ako 400).

Vynásobiť, odčítať, znížiť počet ďalších číslic.

Zdvojnásobte hodnotu zhora a napíšte priestor pre príponu na ľavej strane pracovnej plochy.

Pokračujte v procese tak, ako je uvedené nižšie:

prosím; ak niekto môže poskytnúť jednoduchšie vysvetlenie, ako tento proces pracovať, urobte tak.

odpoveď:

Skôr než napísať dlhú poznámku k Jimovej, tu je "ďalšia" odpoveď.

Nájsť #sqrt (n) #, aproximujte svoje aproximácie pomocou:

#a_ (i + 1) = a_i + (n - a_i ^ 2) / (2a_i) #

vysvetlenie:

Zvyčajne to používam s „nesprávnymi“ zlomkami, aby som odvodil postupnosť aproximácií, keď zastavím, keď si myslím, že mám dosť významných číslic, potom dlhé delenie výsledných celých čísel.

Prípadne, ak chcem len odmocninu na 4 významné číslice alebo tak, začnem primeranou dvojmiestnou aproximáciou a vykonám jeden alebo dva kroky.

Snažím sa zapamätať si štvorce #2# číslic. Takže v prípade #13# Mal by som to pamätať #36^2 = 1296# je skôr blízko #1300#, takže #36# robí dobrú aproximáciu #sqrt (1300) #.

Ďalšia aproximácia by bola #36 + 4/72 = 36 + 1/18 ~= 36.056#

z toho dôvodu #sqrt (13) ~ = 3.6056 #