Ako integrujete int sec ^ -1x integráciou metódou častí?

odpoveď:

Odpoveď je # = X "oblúk" secx-ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

vysvetlenie:

Potrebujeme

# (Sec ^ -1x) '= ("oblúk" secx)' = 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) #

# Intsecxdx = ln (sqrt (x ^ 2-1) + x) #

Integrácia podľa častí je

# Intu'v = uv-intuv '#

Tu máme

# U '= 1 #, #=>#, # U = x #

# V = "arc" secx #, #=>#, # V '= 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) #

Z tohto dôvodu

#int "oblúk" secxdx = x "oblúk" secx-int (dx) / (sqrt (x ^ 2-1)) #

Vykonajte druhý integrál substitúciou

nechať # X = Secu #, #=>#, # Dx = secutanudu #

#sqrt (x ^ 2-1) = sqrt (sek ^ 2u-1) = nu #

# Intdx / sqrt (x ^ 2-1) = int (secutanudu) / (nu) = intsecudu #

# = Int (Secu (Secu + nu) du) / (+ Secu nu) #

# = int ((sec ^ 2u + secutanu) du) / (secu + tanu) #

nechať # V = Secu + nu #, #=>#, # Dv = (sec ^ 2u + secutanu) du #

takže, # Intdx / sqrt (x ^ 2-1) = int (dv) / (V) = LNV #

# = Ln (Secu + nu) #

# = Ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) #

A konečne, #int "oblúk" secxdx = x "oblúk" secx-ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

odpoveď:

#int sec ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -ln (| x | + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

vysvetlenie:

Alternatívne môžeme použiť málo známy vzorec na spracovanie integrálov inverzných funkcií. Vzorec uvádza:

#int f ^ -1 (x) dx = xf ^ -1 (x) -F (f ^ -1 (x)) + C #

kde # F ^ -1 (x) # je opačná # F (x) # a #F (x) # je anti-derivát # F (x) #.

V našom prípade dostaneme:

#int sec ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -F (sec ^ -1 (x)) + C #

Teraz všetko, čo potrebujeme vypracovať, je anti-derivát # F #, ktorá je známym integrálnym integrálom:

#int sec (x) dx = ln | sek (x) + tan (x) | + C #

Zapojenie do formulára dáva našu konečnú odpoveď:

#int sec ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -ln | sek (sek ^ -1 (x)) + tan (sek ^ -1 (x)) | + C #

Musíme byť opatrní pri zjednodušovaní #tan (s ^ -1 (x)) # na #sqrt (x ^ 2-1) # pretože identita je platná len vtedy, ak #X# je pozitívny. Máme však šťastie, pretože to dokážeme opraviť tak, že do logaritmu vložíme absolútnu hodnotu. To tiež odstraňuje potrebu prvej absolútnej hodnoty, pretože všetko vnútri logaritmu bude vždy pozitívne:

# Xsec ^ -1 (x) -ln (| x | + sqrt (x ^ 2-1)) + C #