Ako zistíte binomickú expanziu pre (2x + 3) ^ 3?

odpoveď:

# (2x + 3) ^ 3 = 8x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 #

vysvetlenie:

S Pascalovým trojuholníkom je ľahké nájsť každú binomickú expanziu:

Každý termín tohto trojuholníka je výsledkom súčtu dvoch výrazov na hornom riadku. (napr. červenou farbou)

#1#

#1. 1#

#color (blue) (1. 2. 1) #

# 1. farba (červená) 3. farba (červená) 3. 1 #

# 1. 4. farba (červená) 6. 4. 1 #

…

Každý riadok obsahuje informácie o jednom binomickom rozšírení:

Prvý riadok, pre moc #0#

Druhý, pre moc #1#

Tretí, pre moc #2#…

Napríklad: # (A + b) ^ 2 # po tomto rozšírení použijeme 3. riadok modrou farbou:

# (a + b) ^ 2 = farba (modrá) 1 * a ^ 2 * b ^ 0 + farba (modrá) 2 * a ^ 1 * b ^ 1 + farba (modrá) 1 * a ^ 0 * b ^ 2 #

Potom: # (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 #

K moci #3#:

# (a + b) ^ 3 = farba (zelená) 1 * a ^ 3 * b ^ 0 + farba (zelená) 3 * a ^ 2 * b ^ 1 + farba (zelená) 3 * a ^ 1 * b ^ 2 + farba (zelená) 1 * a ^ 0 * b ^ 3 #

potom # (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + 3a ^ 2b + 3ab ^ 2 + b ^ 3 #

Takže tu máme #COLOR (červená) (a = 2 x) # a #COLOR (modrá), (b = 3) #:

a # (2x + 3) ^ 3 = farba (červená) ((2x)) ^ 3 + 3 * farba (červená) ((2x)) ^ 2 * farba (modrá) 3 + 3 * farba (červená) ((2x)) * farba (modrá) 3 ^ 2 + farba (modrá) 3 ^ 3 #

Preto: # (2x + 3) ^ 3 = 8x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 #

odpoveď:

# (2x + 3) ^ 3 = 8x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 #

vysvetlenie:

# (2x + 3) ^ 3 #

Použite kocku súčtovej metódy, v ktorej # (A + b) ^ 3 = a ^ 3 + 3a ^ 2b + 3ab ^ 2 + b ^ 3 #.

# A = 2x; # # B = 3 #

# (2x + 3) ^ 3 = (2x) ^ 3 + (3 x 2 x ^ 2 * 3) + (3 x 2 x * 3 ^ 2) + 3 ^ 3 # =

# 8x ^ 3 + (3 x 4 x ^ 2 * 3) + (3 x 2 x * 9) + 27 # =

# 8x ^ 3 + (9 * 4x ^ 2) + (27 * 2x) + 27 # =

# 8x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 #