Ako dokazujete: secx - cosx = sinx tanx?

Pomocou definícií # # Secx a # # Tanxspolu s identitou

# sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #, máme

# secx-cosx = 1 / cosx-cosx #

# = 1 / cosx-cos ^ 2x / cosx #

# = (1-cos ^ 2x) / cosx #

# = Sin ^ 2x / cosx #

# = sinx * sinx / cosx #

# = Sinxtanx #

odpoveď:

Najprv konvertujte všetky výrazy do # # Sinx a # # Cosx.

Druhé uplatnenie pravidiel frakčnej sumy na LHS.

Nakoniec aplikujeme Pythagorovu identitu: # sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 #

vysvetlenie:

Najprv v otázkach týchto foriem je vhodné previesť všetky výrazy na sínus a cosine: tak, nahradiť #tan x # s #sin x / cos x #

a nahradiť #sec x # s # 1 / cos x #.

LHS, #sec x- cos x # stáva # 1 / cos x- cos x #.

RHS, # sin x tan x # stáva #sin x sin x / cos x # alebo # sin ^ 2 x / cos x #.

Teraz aplikujeme pravidlá pre zlomkové sumy na LHS, čím vytvoríme spoločnú základňu (podobne ako číselné zlomky) #1/3 +1/4 => 4/12 + 3/12 = 7/12)#.

LHS =# 1 / cos x- cos x => 1 / cos x- cos ^ 2 x / cos x => {1 - cos ^ 2 x} / cos x #.

Nakoniec aplikujeme Pythagorovu identitu: # sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 #! (jedna z najužitočnejších identít pre tieto typy problémov).

Preskupením sa dostaneme # 1- cos ^ 2 x = sin ^ 2 x #.

Nahradíme # 1- cos ^ 2 x # v LHS s # sin ^ 2 x #.

LHS = # {1 - cos ^ 2 x} / cos x => {sin ^ 2 x} / cos x # ktorá sa rovná modifikovanej RHS.

LHS = RHS Q.E.D.

Všimnite si tento všeobecný model získavania vecí v pojmoch sínus a kosínus, s použitím zlomkových pravidiel a Pytagorovej identity, často rieši tieto typy otázok.

Ak si to želáme, môžeme tiež upraviť pravú stranu tak, aby zodpovedala ľavej strane.

Mali by sme písať # # Sinxtanx z hľadiska # # Sinx a # # Cosxpomocou identity #COLOR (červená) (Tanx = sinx / cosx) #:

# Sinxtanx = sinx (sinx / cosx) = sin ^ 2x / cosx #

Teraz používame Pythagorovu identitu, ktorá je # Sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #, Môžeme to upraviť, aby sme to vyriešili # Sin ^ # 2x, takže: #COLOR (červená) (sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x) #:

# Sin ^ 2x / cosx = (1-cos ^ 2x) / cosx #

Teraz len rozdeľte čitateľa:

# (1-cos ^ 2x) / cosx = 1 / cosx-cos ^ 2x / cosx = 1 / cosx-cosx #

Použite vzájomnú identitu #COLOR (červená) (secx = 1 / cosx #:

# 1 / cosx-cosx = secx-cosx #

odpoveď:

Je to naozaj toto jednoduché …

vysvetlenie:

Použitie identity # Tanx = sinx / cosx #, vynásobte # # Sinx na identitu, aby ste získali:

# Secx-cosx = sin ^ 2x / cosx #

Potom vynásobte # # Cosx prostredníctvom rovnice, aby sme získali:

# 1-cos ^ 2x = sin ^ # 2x

Zvažujem to # # Secx je opačná # # Cosx.

Nakoniec pomocou trigonometrickej identity # 1-cos ^ 2x = sin ^ # 2x, posledná odpoveď by bola:

# Sin ^ 2x = sin ^ # 2x