Ako dokazujete (tanx + sinx) / (2tanx) = cos ^ 2 (x / 2)?

Na vyplnenie dôkazu potrebujeme tieto dve identity:

# Tanx = sinx / cosx #

#cos (x / 2) = + - sqrt ((1 + cosx) / 2) #

Začnem pravou stranou a potom s ňou manipulujem, až to vyzerá na ľavej strane:

# RHS = cos ^ 2 (x / 2) #

#COLOR (biely) (RHS) = (cos (x / 2)) ^ 2 #

#COLOR (biely) (RHS) = (+ - sqrt ((1 + cosx) / 2)) ^ 2 #

#COLOR (biely) (RHS) = (1 + cosx) / 2 #

#COLOR (biely) (RHS) = (1 + cosx) / 2color (červená) (* sinx / sinx) #

#COLOR (biely) (RHS) = (sinx + sinxcosx) / (2sinx) #

#COLOR (biely) (RHS) = (sinx + sinxcosx) / (2sinx) farba (červená) (* (1 / cosx) / (1 / cosx)) #

#COLOR (biely) (RHS) = (sinx / cosx + (sinxcosx) / cosx) / (2sinx / cosx) #

#COLOR (biely) (RHS) = (Tanx + sinx) / (2tanx) #

#COLOR (biely) (RHS) = LHS #

To je dôkaz. Dúfam, že to pomohlo!

Snažíme sa dokázať identitu:

# (tanx + sinx) / (2tanx) - = cos ^ 2 (x / 2) #

Zvážte LHS výrazu a použite definíciu tangenta:

# LHS = (tanx + sinx) / (2tanx) #

# = (sinx / cosx + sinx) / (2 (sinx / cosx)) #

# = (cosx / sinx) ((sinx / cosx + sinx) / 2) #

# = (cosx / sinx * sinx / cosx + cosx / sinx * sinx) / 2 #

# = (1 + cosx) / 2 #

Zvážte RHS a používajte identitu:

# cos2A - = 2cos ^ 2A - 1 #

Dáva nám:

# cosx - = 2cos ^ 2 (x / 2) - 1 => 1 + cosx - = 2cos ^ 2 (x / 2) #

#:. cos ^ 2 (x / 2) = (1 + cosx) / 2 = RHS #

teda:

# LHS = RHS => (tanx + sinx) / (2tanx) - = cos ^ 2 (x / 2) t QED

# LHS = (Tanx + sinx) / (2tanx) #

# = (Zrušiť (Tanx) (1 + sinx / Tanx)) / (2cancel (Tanx)) #

# = (1 + cosx) / 2 = (2cos ^ 2 (x / 2)) / 2 = cos ^ 2 (x / 2) = RHS #