Polomery dvoch sústredných kruhov sú 16 cm a 10 cm. AB je priemer väčšieho kruhu. BD je dotyčnica k menšiemu kruhu, ktorý sa jej dotýka v D. Aká je dĺžka AD?

odpoveď:

#bar (AD) = 23.5797 #

vysvetlenie:

Prijatie pôvodu #(0,0)# ako spoločné centrum pre. t # # C_i a # # C_e a volania # R_i = 10 # a # R_e = 16 # bod dotyku # P_0 = (x_0, y_0) # je na križovatke #C_i nn C_0 # kde

# C_i-> x ^ 2 + y ^ 2 = r_i ^ 2 #

# C_e-> x ^ 2 + y ^ 2 = R_e ^ 2 #

# C_0 -> (x-r_e) ^ 2 + y ^ 2 = r_0 ^ 2 #

tu # r_0 ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2 #

Riešenie pre #C_i nn C_0 # máme

# {(X ^ 2 + y ^ 2 = r_i ^ 2), ((x-R_e) ^ 2 + y ^ 2 = R_e ^ 2-r_i ^ 2):} #

Odčítanie prvej z druhej rovnice

# -2xr_e + R_e ^ 2 = R_e ^ 2-r_i ^ 2-r_i ^ 2 # tak

# x_0 = r_i ^ 2 / r_e # a # y_0 ^ 2 = r_i ^ 2-x_0 ^ 2 #

Konečne hľadaná vzdialenosť je

#bar (AD) = sqrt ((R_e + x_0) ^ 2 + y_0 ^ 2) = sqrt (R_e ^ 2 + 3r_i ^ 2) #

alebo

#bar (AD) = 23.5797 #

vysvetlenie:

ak #bar (BD) # je dotyčnica # # C_i potom #hat (ODB) = pi / 2 # tak môžeme aplikovať pythagoras:

#bar (OD) ^ 2 + bar (DB) ^ 2 = bar (OB) ^ 2 # stanovenie # # R_0

# r_0 ^ 2 = bar (OB) ^ 2-bar (OD) ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2 #

Bod # D # súradnice, volané # (X_0, y_0) # by sa mali získať pred výpočtom požadovanej vzdialenosti #bar (AD) #

Existuje mnoho spôsobov, ako to urobiť. Alternatívna metóda je

# Y_0 = bar (BD) sin (hat (OBD)) # ale #sin (klobúk (OBD)) = bar (OD) / bar (OB) #

potom

# y_0 = sqrt (r_e ^ 2-r_i ^ 2) (r_i / r_e) # a

# X_0 = sqrt (r_i ^ 2-y_0 ^ 2) #

Podľa daných údajov je uvedený vyššie uvedený obrázok.

O je spoločné centrum dvoch sústredných kruhov

#AB -> "priemer väčšieho kruhu" #

# AO = OB -> "polomer väčšej kružnice" = 16 cm #

#DO -> "polomer menšieho kruhu" = 10 cm #

#BD -> "dotyčnica k menšiemu kruhu" -> / _ BDO = 90 ^ @ #

nechať # / _ DOB = theta => / _ AOD = (180-theta) #

v #Delta BDO-> cos / _BOD = costheta = (OD) / (OB) = 10/16 #

Uplatňovanie kosínus práva v #Delta ADO # dostaneme

# AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2-2AO * DOcos / _AOD #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2-2AO * DOcos (180-theta) #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2 + 2AO * DOcostheta #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2 + 2AO * DOXX (OD) / (OB) #

# => AD ^ 2 = 16 ^ 2 + 10 ^ 2 + 2xx16xx10xx10 / 16 #

# => AD ^ 2 = 556 #

# => AD = sqrt556 = 23,58 cm #