Vyriešte ax ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e = 0?

odpoveď:

Rýchla skica …

vysvetlenie:

Vzhľadom na to:

# ax ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e = 0 "" # s #a! = 0 #

To dostane chaotický pomerne rýchlo, takže som sa len dať náčrt jednej metódy …

Vynásobte číslom # 256a ^ 3 # a nahradiť #t = (4ax + b) # získať deprimovanú monic quartic formulára:

# t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r = 0 #

Všimnite si, že toto nemá termín v # T ^ 3 #, musí byť vo forme:

# t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r = (t ^ 2-At + B) (t ^ 2 + At + C) #

#color (biela) (t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r) = t ^ 4 + (B + C-A ^ 2) t ^ 2 + A (B-C) t + BC #

Rovnocenné koeficienty a trochu nové usporiadanie máme:

# {(B + C = A ^ 2 + p), (B-C = q / A), (BC = d):} #

Nájdeme teda:

# (A ^ 2 + p) ^ 2 = (B + C) ^ 2 #

#color (biela) ((A ^ 2 + p) ^ 2) = (B-C) ^ 2 + 4BC #

#color (biela) ((A ^ 2 + p) ^ 2) = q ^ 2 / A ^ 2 + 4d #

Vynásobenie, násobenie # A ^ 2 # a mierne preskupiť, to sa stáva:

# (A ^ 2) ^ 3 + 2p (A ^ 2) ^ 2 + (p ^ 2-4d) (A ^ 2) -q ^ 2 = 0 #

Tento "kubický v # A ^ 2 #"má aspoň jeden skutočný koreň. V ideálnom prípade má pozitívny skutočný koreň, ktorý prináša dve možné reálne hodnoty pre # A #, Bez ohľadu na to, akýkoľvek koreň kubických bude robiť.

Vzhľadom k hodnote # A #, máme:

#B = 1/2 ((B + C) + (B-C)) = 1/2 (A ^ 2 + p + q / A) #

# C = 1/2 ((B + C) - (B-C) = 1/2 (A ^ 2 + p-q / A) #

Preto dostaneme dve kvadratiky na vyriešenie.