Dva rohy rovnoramenného trojuholníka sú na (7, 5) a (3, 6). Ak je plocha trojuholníka 6, aké sú dĺžky strán trojuholníka?

odpoveď:

Existuje niekoľko spôsobov, ako to urobiť; nižšie je vysvetlený spôsob, ako postupovať s najmenšími krokmi.

Otázka je nejednoznačná, pokiaľ ide o dve strany, ktoré majú rovnakú dĺžku. V tomto vysvetlení budeme predpokladať, že obe strany rovnakej dĺžky sú tie, ktoré ešte neboli nájdené.

vysvetlenie:

Dĺžku jednej strany môžeme zistiť len zo súradníc, ktoré sme dostali.

# A = sqrt ((7-3) ^ 2 + (5-6) ^ 2) #

# A = sqrt (4 ^ 2 + (- 1) ^ 2) #

# A = sqrt (16 + 1) #

# A = sqrt17 #

Potom môžeme použiť vzorec pre plochu trojuholníka, pokiaľ ide o jeho bočné dĺžky, aby sme zistili # B # a # C #.

# A = sqrt (s (S-a) (s-b) (s-c)) #

kde # S = (a + b + c) / 2 # (nazvaný semiperimeter)

od tej doby # A = sqrt (17) # je známe a predpokladáme # B = c #, máme

# S = (sqrt17 + b + b) / 2 #

#COLOR (červená) (y = sqrt17 / 2 + b) #

Nahrádza to do oblasti vzorca vyššie, rovnako ako # A = 6 # a # A = sqrt17 #, dostaneme

# 6 = sqrt ((farba (červená) (sqrt (17) / 2 + b)) (farba (červená) (sqrt (17) / 2 + b) -sqrt17) (farba (červená) (sqrt (17) / 2 + b) -b) (farba (červená) (sqrt (17) / 2 + b) -b)) #

# 6 = sqrt ((sqrt (17) / 2 + b) (- sqrt (17) / 2 + b) (sqrt (17) / 2) (sqrt (17) / 2)) #

# 6 = (sqrt (17) / 2) sqrt ((b + sqrt (17) / 2) (b-sqrt (17) / 2)) #

# 12 / sqrt17 = sqrt (b ^ 2- (sqrt17 / 2) ^ 2) #

# 144/17 = b ^ 2-17 / 4 #

# 144/17 + 17/4 = b ^ 2 #

# 576/68 + 289/68 = b ^ 2 #

# 865/68 = b ^ 2 #

# B = sqrt (865/68) = c #

Naše riešenie je # a = sqrt (17), b = c = sqrt (865/68) #.

Poznámka pod čiarou č. 1:

Je možné mať trojuholník s dvoma stranami dĺžky #sqrt (17) # a oblasť # A = 6 # (to znamená mať # A = b = sqrt (17) # namiesto # B = c #). To povedie k inému riešeniu.

Poznámka pod čiarou č. 2:

Túto otázku by sme tiež mohli vyriešiť nájdením súradníc tretieho bodu. To by zahŕňalo:

a) zistenie dĺžky známej strany # A #

b) zistenie sklonu # M # medzi týmito dvoma bodmi

c) nájdenie stredu # (X_1, y_1) # medzi týmito dvoma bodmi

d) nájdenie "výšky" # # H tohto trojuholníka # A = 1/2 ah #

e) zistenie sklonu výšky pomocou #m_h = (- 1) / m #

f) použitím obidvoch vzorcov sklonu # M_h = (y_2-y_1) / (x_2-x 1) # a vzorec výšky # H = sqrt ((y_2-y_1) ^ 2 + (x_2-x 1) ^ 2) # vyriešiť jednu zo súradníc tretieho bodu # (X_2, y_2) #

g) po skombinovaní týchto dvoch rovníc zjednodušiť výťažky

# X_2 = h / (sqrt (m_h ^ 2 + 1)) + x 1 #

h) zapojenie známych hodnôt pre # # H, # # M_ha # # X_1 získať # # X_2

i) pomocou jednej z dvoch rovníc v (f) nájsť # # Y_2

j) pomocou vzorca vzorca nájdite zostávajúce (identické) dĺžky strán

# B = sqrt ((x_2-3) ^ 2 + (y_2-6) ^ 2) = sqrt ((x_2-7) ^ 2 + (y_2-5) ^ 2) #

Môžete vidieť, prečo je prvá metóda jednoduchšia.