odpoveď:
Definitívny integrál je # 2int_3 ^ 5sqrt (25 - x ^ 2) dx #.
vysvetlenie:
Vždy existujú viaceré spôsoby, ako pristupovať k integračným problémom, ale takto som to vyriešil:
Vieme, že rovnica pre náš kruh je:
# x ^ 2 + y ^ 2 = 25 #
To znamená, že pre každého #X# hodnotu môžeme určiť # Y # hodnoty nad a pod týmto bodom na osi x pomocou:
# y ^ 2 = 25 - x ^ 2 #
#y = sqrt (25-x ^ 2) #
Ak si predstavíme, že čiara vedená z hornej časti kruhu na dno s konštantou #X# hodnota v ktoromkoľvek bode, bude mať dĺžku dvojnásobku # Y # hodnota uvedená vyššie uvedenou rovnicou.
# r = 2sqrt (25 - x ^ 2) #
Keďže máme záujem o oblasť medzi linkou #x = 3 # a koniec kruhu na #x = 5 #, to budú naše neoddeliteľné hranice. Od tohto bodu je písanie určitého integrálu jednoduché:
#A = int_3 ^ 5rdx = 2int_3 ^ 5sqrt (25 - x ^ 2) dx #
odpoveď:
Ako alternatíva, v polárnej
# = 25int_ {0} ^ {arcsin (4/5)} t
vysvetlenie:
môžete to urobiť aj polárne
kruh v polárnom je r = 5 a používa najjednoduchšiu formuláciu plochy #A = 1/2 int r ^ 2 (psi) d psi # pomocou symetrie okolo osi x
#A = 2 krát (1/2 int_ {0} ^ {arcsin (4/5)} 5 ^ 2 d psi - farba {červená} {1/2 * 3 * 4}) #
kde červený bit je na obrázku znázornený načrtnutým červenou farbou
# = 25int_ {0} ^ {arcsin (4/5)} t
# = 25 psi _ {0} ^ {arcsin (4/5)} - 12 #
# = 25 arcsin (4/5) - 12 #
