Funkcia rýchlosti je v (t) = –t ^ 2 + 3t - 2 pre časticu pohybujúcu sa pozdĺž čiary. Aký je posun (čistá vzdialenost 'pokrytia) častice v časovom intervale [-3,6]?

odpoveď:

#int _ (- 3) ^ 6 v (t) dt = 103.5 #

vysvetlenie:

Plocha pod krivkou rýchlosti je rovná prejdenej vzdialenosti.

#int _ (- 3) ^ 6 v (t) dt #

# = int _ (- 3) ^ 6 -t ^ 2 + 3t-2color (biela) ("X") dt #

# = - 1 / 3t ^ 3 + 3/2 t ^ 2-2 t | _color (modro) ((- 3)) ^ farba (červená), (6) #

# = (farba (červená) (- 1/3 (6 ^ 3) +3/2 (6 ^ 2) -2 (6))) - (farba (modrá) (- 1/3 (-3) ^ 3 +3/2 (-3) ^ 2-2 (-3))) #

#=114 -10.5#

#=103.5#

odpoveď:

Pôvodná otázka je trochu mätúca, pretože znamená, že vysídlenie a vzdialenosť je to isté, čo nie je.

Vytvoril som potrebnú integráciu pre každý iný prípad uvedený nižšie.

vysvetlenie:

Celková vzdialenosť (skalárna veličina reprezentujúca skutočnú dĺžku dráhy) je daná súčtom čiastkových integrálov

# X = int _ (- 3) ^ 1 (0 - (- t ^ 2 + 3 t-2) dt + int_1 ^ 2 (t ^ 2 + 3 t-2) dt + int_2 ^ 6 (t ^ 2-3 t + 2) dt #

Celkový presun (veličina vektora reprezentujúca priamku od začiatku do konca pohybu) sa udáva v nasledujúcom integrále

# | Vecx | = -int _ (- 3) ^ 1 (t ^ 2 - 3 t + 2) + dt int_1 ^ 2 (t ^ 2 + 3 t-2) dt-int_2 ^ 6 (t ^ 2-3 ton + 2) dt #

Graf funkcie rýchlosti s časom objasňuje, prečo sa tieto integrály musia nastaviť pre pravidlá vektorov, ktoré sa majú dodržiavať, a definície, ktoré sa majú splniť.

graf {-x ^ 2 + 3x-2 -34,76, 38,3, -21,53, 14,98}