Zobraziť, že 3 ^ (1/3) xx9 ^ (1/9) xx27 ^ (1/27) ... do nekonečna = 3 ^ (3/4) .how?

odpoveď:

Pozri nižšie.

vysvetlenie:

# 3 ^ (1/3) xx9 ^ (1/9) xx27 ^ (1/27) cdots = 3 ^ (1/3) xx 3 ^ (2/9) xx 3 ^ (3/27) cdots = 3 ^ (1/3 + 2/9 + 3/27 + cdots + n / 3 ^ n + cdots) = 3 ^ S #

#S = sum_ (k = 1) ^ oo n / 3 ^ n =? #

My to vieme #sum_ (k = 1) ^ oo k x ^ k = x d / (dx) sum_ (k = 1) ^ oo x ^ k #

a to aj pre #abs x <1 #

#sum_ (k = 1) ^ oo x ^ k = 1 / (1-x) -1 # a # d / (dx) (1 / (1-x) -1) = 1 / (1-x) ^ 2 # potom

#sum_ (k = 1) ^ oo k x ^ k = x / (1-x) ^ 2 # a pre #x = 1/3 # máme

#S = 3/4 # potom konečne

# 3 ^ S = 3 ^ (3/4) #

Spoločný pomer ggeometrickej progresie je r prvý termín progresie je (r ^ 2-3r + 2) a súčet nekonečna je S Ukážte, že S = 2-r (mám) Nájdite množinu možných hodnôt, ktoré S môže mať?

S = a / {1-r} = {r ^ 2-3r + 2} / {1-r} = {(r-1) (r-2)} / {1-r} = 2-r Pretože | r | <1 dostaneme 1 <S <3 # Máme S = sum_ {k = 0} ^ {infty} (r ^ 2-3r + 2) r ^ k Všeobecný súčet nekonečných geometrických radov je sum_ {k = 0} ^ {infty} ar ^ k = a / {1-r} V našom prípade S = {r ^ 2-3r + 2} / {1-r} = {(r-1) (r-2) )} / {1-r} = 2-r Geometrické rady len konvergujú, keď | r | <1, takže dostaneme 1 <S <3 #

Súčet série 1 / (1 * 2) - 1 / (2 * 3) + 1 / (3 * 4) - .... do nekonečna sa rovná?

Súčet = 2ln2-1 Všeobecný termín radu je = (- 1) ^ (n + 1) / (n (n + 1)) Vykonávame rozklad na čiastkové zlomky 1 / (n (n + 1) ) = A / n + B / (n + 1) = (A (n + 1) + Bn) / (n (n + 1)) So, 1 = A (n + 1) + Bn Keď n = 0, =>, 1 = A Keď n = -1, =>, 1 = -B Preto 1 / (n (n + 1)) = 1 / n-1 / (n + 1) (-1) ^ (n +1) / (n (n + 1)) = (- 1) ^ (n + 1) / n - (- 1) ^ (n + 1) / (n + 1) sum_1 ^ oo (-1) ^ (n + 1) / (n (n + 1)) = sum_1 ^ oo (-1) ^ (n + 1) / n-sum_0 ^ oo (-1) ^ (n + 1) / (n + 1) ln (1 + x) = sum_1 ^ (oo) (- 1) ^ (n + 1) / n * x ^ n sum_1 ^ (oo) (- 1) ^ (n + 1) / n = ln2 sum_0 ^ ( oo) (- 1) ^ (n + 1

Ako definujete konvergenciu, ako dokazujete, že sekvencia {5+ (1 / n)} konverguje z n = 1 do nekonečna?

Nech: a_n = 5 + 1 / n potom pre ľubovoľné m, nv NN s n> m: abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) abs (a_m -a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) ako n> m => 1 / n <1 / m: abs (a_m-a_n) = 1 / m-1 / n a ako 1 / n> 0: abs (a_m-a_n) <1 / m. Vzhľadom na akékoľvek reálne číslo epsilon> 0 vyberte potom celé číslo N> 1 / epsilon. Pre všetky celé čísla m, n> N máme: abs (a_m-a_n) <1 / N abs (a_m-a_n) <epsilon, ktorý dokazuje Cauchyho stav pre konvergenciu sekvencie.