Ako zistíte deriváciu y = sin ^ 2x cos ^ 2x?

odpoveď:

# Dy / dx = -2sinxcosx (sin ^ 2x-cos ^ 2x) #

vysvetlenie:

Použite pravidlo produktu:

ak # Y = f (x) g (x) #, potom

# Dy / dx = f '(x) g (x) + g' (x), f (x) #

takže, # F (x) = sin ^ # 2x

#G (x) = cos ^ # 2x

Na nájdenie oboch derivátov použite pravidlo reťazca:

Pripomeňme, že # d / dx (u ^ 2) = 2u * (du) / dx #

# F '(x) = 2sinxd / dx (sinx) = 2sinxcosx #

#G '(x) = 2cosxd / dx (cosx) = - 2sinxcosx #

To znamená, # Dy / dx = 2sinxcosx (cos ^ 2x) -2sinxcosx (sin ^ 2x) #

# => - 2sinxcosx (sin ^ 2x-cos ^ 2x) #

Existuje identita # 2sinxcosx = sin2x #, ale táto identita je viac mätúca ako užitočná pri zjednodušovaní odpovedí.

odpoveď:

Tam je niečo, čo robí odpoveď oveľa jednoduchšie nájsť.

vysvetlenie:

Môžete si to tiež pamätať #sin (2x) = 2sin (x) cos (x) #, teda nový výraz funkcie.

#f (x) = sin ^ 2 (x) cos ^ 2 (x) = sin (x) cos (x) sin (x) cos (x) = (sin (2x) / 2) ^ 2 = sin ^ 2 (2x) / 4 # čo je oveľa jednoduchšie odvodiť (1 štvorcový namiesto 2).

Derivát # U ^ n # je # N * u'u ^ (n-1) # a derivát #sin (2x) # je # 2cos (2x) #

tak #f '(x) = (4cos (2x) sin (2x)) / 4 = sin (4x) / 2 #.

Výhoda týchto goniometrických identít je pre fyzikov, môžu nájsť každú informáciu vo vlne, ktorú táto funkcia predstavuje. Sú tiež veľmi užitočné, keď musíte nájsť primitíva goniometrických funkcií.