Môže byť funkcia na danej doméne kontinuálna a nediferencovateľná?

odpoveď:

Áno.

vysvetlenie:

Jedným z najvýraznejších príkladov je funkcia Weierstrass, ktorú objavil Karl Weierstrass, ktorú definoval vo svojom pôvodnom dokumente ako:

#sum_ (n = 0) ^ oo a ^ n cos (b ^ n pi x) #

kde # 0 <a <1 #, # B # je kladné nepárne číslo a #ab> (3pi + 2) / 2 #

Je to veľmi špicatá funkcia, ktorá je kontinuálna všade na reálnej línii, ale nie je nikde odlišná.

odpoveď:

Áno, ak má "ohnutý" bod. Jedným z príkladov je # F (x) = | x | # na # X_0 = 0 #

vysvetlenie:

Nepretržitá funkcia prakticky znamená kreslenie bez toho, aby ste si z papiera nebrali ceruzku. Matematicky to znamená, že pre každého # # X_0 hodnoty # F (x_0) # ako sa k nim približuje nekonečne malý # # Dx zľava a doprava musia byť rovnaké:

#lim_ (x-> x_0 ^ -), (f (x)) = lim_ (x-> x_0 ^ +) (f (x)) #

kde znamienko mínus znamená približovanie sa zľava a znamienko plus znamená približovanie sa sprava.

Diferenciálna funkcia prakticky znamená funkciu, ktorá neustále mení svoj sklon (NIE pri konštantnej rýchlosti). Preto funkcia, ktorá je v danom bode nediferencovateľná, prakticky znamená, že náhle mení svoj sklon z ľavej strany tohto bodu doprava.

Pozrime sa na dve funkcie.

# F (x) = x ^ 2 # na # X_0 = 2 #

graf

graf {x ^ 2 -10, 10, -5,21, 5,21}

Graf (zväčšený)

graf {x ^ 2 0,282, 3,7, 3,073, 4,783}

Od roku # X_0 = 2 # graf môže byť vytvorený bez odobratia ceruzky z papiera, funkcia je v tomto bode kontinuálna. Vzhľadom k tomu, že nie je ohnutý v tomto bode, je to tiež diferencovateľné.

#G (x) = | x | # na # X_0 = 0 #

graf

graf {absx -10, 10, -5,21, 5,21}

na # X_0 = 0 # funkcia je neprerušovaná, pretože sa dá kresliť bez toho, aby sa ceruzka odoberala z papiera. Pretože však v tomto bode narazí, funkcia nie je diferencovateľná.