odpoveď:
Žiadne riešenia v # RR #.
vysvetlenie:
Po prvé, trochu zjednodušme:
ako # E ^ x # a #ln (x) # sú inverzné funkcie, # e ^ ln (x) = x # ako aj #ln (e ^ x) = x #, To znamená, že môžete zjednodušiť svoj tretí logaritmický výraz:
# log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 ((1 / x) / 3) = 4/3 #
# <=> log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
Ďalším cieľom je priniesť všetky # Log # funkcie, aby ste mali možnosť používať logaritmické pravidlá a zjednodušiť ich.
Logaritmickú bázu môžete zmeniť nasledovne:
#log_a (x) = log_b (x) / log_b (a) #
Použime toto pravidlo na zmenu základne #8# z # # Log_8 a základ #32# z # # Log_32 k základni #2#:
# log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
# <= (log_2 (1-x)) / (log_2 (8)) + (10 log_2 (x)) / (3 log_2 (32)) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
Teraz môžeme vypočítať # log_2 (8) = 3 # a # log_2 (32) = 5 #
(v prípade, že to nie je jasné, dovoľte mi to rozobrať, aby som si bola istá: # log_2 (8) = x <=> 2 ^ (log_2 (8)) = 2 ^ x <=> 8 = 2 ^ x <=> 2 ^ 3 = 2 ^ x #)
To nás vedie k nasledovnej, jednoduchšej logaritmickej rovnici:
# (log_2 (1-x)) / 3 + (10 log_2 (x)) / (3 x 5) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
# <=> 1/3 log_2 (1-x) + 2/3 log_2 (x) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
… znásobiť obe strany #3#…
# <=> log_2 (1-x) + 2 log_2 (x) - 3 log_2 (1 / (3x)) = 4 #
Teraz sme pripravení použiť logaritmické pravidlá:
#log_a (x * y) = log_a (x) + log_a (y) # a #log_a (x ^ y) = y * log_a (x) #
Cieľom je mať len jednu # Log # termín na ľavej strane. Poďme na to.:)
# log_2 (1-x) + 2 log_2 (x) - 3 log_2 (1 / (3x)) = 4 #
# <=> log_2 (1-x) + log_2 (x ^ 2) + log_2 ((1 / (3x)) ^ (- 3)) = 4 #
# <=> log_2 (1-x) + log_2 (x ^ 2) + log_2 (27 x ^ 3) = 4 #
# <=> log_2 ((1-x) * x ^ 2 * 27 x ^ 3 = 4 #
# <=> log_2 (27 x ^ 5 - 27 x ^ 6) = 4 #
V tomto bode sa môžeme zbaviť # Log_2 (a) # použitím inverznej funkcie # 2 ^ a # na obe strany rovnice.
# log_2 (27 x ^ 5 - 27 x ^ 6) = 4 #
# <=> 2 ^ (log_2 (27 x ^ 5 - 27 x ^ 6)) = 2 ^ 4 #
# <=> 27 x ^ 5 - 27 x ^ 6 = 2 ^ 4 #
# <=> 27 x ^ 5 - 27 x ^ 6 = 16 #
# <=> -x ^ 6 + x ^ 5 = 16/27 #
# <=> -x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 = 0 #
Bohužiaľ, musím priznať, že som v tomto momente uviazol, pretože neviem ako vyriešiť túto rovnicu.
Vykreslenie #f (x) = - x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 # mi hovorí, že táto rovnica nemá žiadne riešenie # RR #.
graf {- x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 -9,63, 10,37, -4,88, 5,12}
Dúfam, že to trochu pomohlo!
