Ako zistíte oblasť ohraničenú krivkami y = -4sin (x) a y = sin (2x) v uzavretom intervale od 0 do pi?

odpoveď:

Ohodnotiť

# INT_0 ^ π | -4sin (x) -sin (2x) | dx #

Oblasť je: #8#

vysvetlenie:

Oblasť medzi dvomi kontinuálnymi funkciami # F (x) # a #G (x) # cez #xv a, b # je:

# Int_a ^ b | f (x) -g (x) | dx #

Preto musíme nájsť, kedy # F (x)> g (x) #

Nech sú krivky funkcie:

# F (x) = - 4sin (x) #

#G (x) = sin (2x) #

# F (x)> g (x) #

# -4sin (x)> sin (2x) #

Vediac, že #sin (2x) = 2sin (x) cos (x) #

# -4sin (x)> 2sin (x) cos (x) #

Rozdeľte podľa #2# čo je pozitívne:

# -2sin (x)> sin (x), cos (x) #

Rozdeľte podľa # # Sinx bez toho, aby sa znamenie obrátilo, pretože #sinx> 0 # pre každého #xv (0, π) #

# -2> cos (x) #

Čo je nemožné, pretože:

# -1 <= cos (x) <= 1 #

Takže počiatočné vyhlásenie nemôže byť pravdivé. Z tohto dôvodu # F (x) <= g (x) # pre každého #xv 0, π #

Integrál sa vypočíta:

# Int_a ^ b | f (x) -g (x) | dx #

# INT_0 ^ π (g (x) f (x)) dx #

# INT_0 ^ π (sin (2x) - (- 4sin (x))) dx #

# INT_0 ^ π (sin (2x) + 4sin (x)) dx #

# INT_0 ^ πsin (2x) dx + 4int_0 ^ πsin (x) #

# -1/2 cos (2x) _ 0 ^ π-4 cos (x) _ 0 ^ π #

# -1/2 (cos2π-cos0) -4 (cosπ-cos0) #

#1/2*(1-1)-4*(-1-1)#

#8#