Aké sú hodnoty r (s r> 0), pre ktoré séria konverguje?

odpoveď:

#r <1 / e # je podmienkou konvergencie. t #sum_ (n = 1) ^ OOR ^ ln (n) #

vysvetlenie:

Len odpoviem na časť o konvergencii, pričom prvá časť bola zodpovedaná v pripomienkach. Môžeme použiť # R ^ ln (n) = n ^ ln (R) # prepísať sumu #sum_ (n = 1) ^ OOR ^ ln (n) # vo forme

#sum_ (n = 1) ^ oon ^ ln (r) = sum_ (n = 1) ^ oo 1 / n ^ p, qquad mbox {pre} p = -ln (r) #

Séria vpravo je sériová forma pre slávnu funkciu Riemann Zeta. Je dobre známe, že táto séria konverguje, kedy #p> 1 #, Použitie tohto výsledku dáva priamo

# -ln (r)> 1 znamená ln (r) <- 1 znamená r <e ^ -1 = 1 / e #

Výsledok o funkciách Riemann Zeta je veľmi dobre známy, ak chcete ab initio odpoveď, môžete skúsiť integrálny test konvergencie.