Nájdite hodnoty x, pre ktoré je nasledujúca séria konvergentná?

odpoveď:

#1<>

vysvetlenie:

Keď sa pokúšate určiť polomer a / alebo interval konvergencie výkonových radov, ako sú tieto, je najlepšie použiť Ratio Test, ktorý nám hovorí o sérii # # Suma_n, nechali sme

# L = lim_ (n-> oo) | a_ (n + 1) / a_n | #.

ak #L <1 # séria je úplne konvergentná (a teda konvergentná)

ak #L> 1 #, séria sa odlišuje.

ak # L = 1, # Test pomeru je nepresvedčivý.

Pre Power Series sú však možné tri prípady

a. Výkonová rada konverguje pre všetky reálne čísla; jeho interval konvergencie je # (- oo, oo) #

b. Výkonová rada konverguje pre niektoré číslo # X = a, # jeho polomer konvergencie je nula.

c. Najčastejším prípadom je, že silová séria konverguje # | X-a |<> s intervalom konvergencie # A-R

# | 2x-3 | lim_ (n-> oo) = 1 | 2x-3 | #

Takže, ak # | 2x-3 | <1 #, séria konverguje. Potrebujeme to však vo forme # | X-a |<>

# | 2 (x 3/2) | <1 #

# 2 | x-3/2 | <1 #

# | X-3/2 | <1/2 # výsledky v konvergencii. Polomer konvergencie je # R = 1/2 #

Teraz určme interval:

#-1/2

#-1/2+3/2

#1<>

Musíme sa pripojiť # x = 1, x = 2 # do pôvodnej série, aby sme zistili, či v týchto koncových bodoch máme konvergenciu alebo divergenciu.

# x = 1: sum_ (n = 0) ^ oo (2 (1) -3) ^ n = súčet (n = 0) ^ oo (-1) ^ n # Rozdiel, summand nemá žiadny limit a určite nie je nulový, len strieda znamenia.

# x = 2: sum_ (n = 0) ^ oo (4-3) ^ n = súčet (n = 0) ^ oo1 # odlišuje sa aj testom divergencie, #lim_ (n-> oo) a_n = lim_ (n-> oo) 1 = 1 ne 0 # #

Preto séria konverguje #1<>

Môžeme použiť pomerový test, ktorý hovorí, že ak máme sériu

#sum_ (n = 0) ^ ooa_n #

je to určite konvergentné, ak:

#lim_ (n-> oo) | a_ (n + 1) / a_n | <1 #

V našom prípade # A_n = (2x-3) ^ n #, takže skontrolujeme limit:

#lim_ (n-> oo) | (2x-3) ^ (n + 1) / (2 x-3) ^ n | = lim_ (n-> oo) | ((2x-3) zrušiť ((2x-3) ^ n)) / zrušenie ((2x-3) ^ n) | = #

# = Lim_ (n-> oo) | 2x-3 | = 2x-3 #

Takže musíme skontrolovať, kedy # | 2x-3 | # je menej než #1#:

Urobil som tu chybu, ale vyššie uvedená odpoveď má rovnakú metódu a správnu odpoveď, takže sa na to pozrite.