Ako zjednodušíte 2cos ^ 2 (4θ) -1 pomocou dvojitého uhla?

odpoveď:

# 2 cos ^ 2 (4 theta) - 1 = cos (8 heta) #

vysvetlenie:

Existuje niekoľko vzorov dvojitého uhla pre kosínus. Zvyčajne sa uprednostňuje ten, ktorý premení kosín na iný kosínus:

cos 2x = 2 cos ^ 2 x - 1 #

Tento problém môžeme skutočne uskutočniť v dvoch smeroch. Najjednoduchší spôsob je povedať # X = 4 theta # tak sa dostaneme

# cos (8 heta) = 2 cos ^ 2 (4 theta) - 1 #

čo je dosť zjednodušené.

Zvyčajný spôsob, ako ísť, je získať to z hľadiska # theta #, Začneme prenajímaním # X = 2 theta. #

# 2 cos ^ 2 (4 theta) - 1 #

# = 2 cos ^ 2 (2 (2)) - 1 #

# = 2 (2 cos ^ 2 (2 theta) - 1) ^ 2 - 1 #

# = 2 (2 (2 cos ^ 2 heta-1) ^ 2 -1) ^ 2 -1 #

# = 128 cos ^ 8 heta - 256 cos ^ 6 theta + 160 cos ^ 4 theta - 32 cos ^ 2 theta + 1 #

Ak sa nastavíme # x = cos theta # mali by sme ôsmy Chebyshevov polynóm prvého druhu, # T_8 (x) #, uspokojujúce

#cos (8x) = T_8 (xx) #

Hádam, že prvý spôsob bol pravdepodobne to, čo sú po ňom.