Vyhodnoťte neurčitý integrál: sqrt (10x x ^ 2) dx?

odpoveď:

# 20 / 3x ^ (3/2) -1 / 2x ^ 2 + c #

vysvetlenie:

#int "" sqrt (10x-x ^ 2) "" dx #

Vyplňte námestie, #int "" sqrt (25- (x-5) ^ 2) "" dx #

náhradka # U = X-5 #, #int "" sqrt (25-u ^ 2) "" du #

náhradka # U = 5sin (v) # a # Du = 5cos (v) #

#int "" 5cos (v) sqrt (25-25sin ^ 2 (v)) "" dv #

zjednodušiť, #int "" (5cos (v)) (5cos (v)) "" dv #

upresniť, #int "" 25cos ^ 2 (v) "dv #

Vytiahnite konštantu, # 25int "" cos ^ 2 (v) "dv #

Použiť vzorce dvojitého uhla, # 25int "" (1 + cos (2v)) / 2 "" dv #

Vytiahnite konštantu, # 25 / 2int "" 1 + cos (2v) "" dv #

integrovať

# 25/2 (v + 1 / 2sin (2v)) "+ c #

Nahraďte späť # V = arcsin (u / 5) # a # U = X-5 #

# 25/2 (arcsin ((x-5) / 5) + zrušiť (1 / 2sin) (zrušiť (2arcsin) ((x-5) / 5))) "+ c #

zjednodušiť, # 25/2 (arcsin ((x-5) / 5)) + 25/2 ((x-5) / 5) + c #

upresniť, # 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) +5/2 (x 5) + c #, kde # C # je konštanta integrácie.

Tadaa: D

odpoveď:

# = 1/2 (((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-10x + 20)) + 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) + c #

vysvetlenie:

Čo je #int sqrt (10x - x ^ 2) dx # ?

Všimnite si, že doména integrovanej funkcie je tam, kde je vnútorná kvadratúra pozitívna, t.j. #xv 0, 10 #

Táto expresia môže byť integrovaná pomocou substitúcií. Hoci možná cesta k integrácii sa bezprostredne nepredstavuje, ak súťažíme na námestí, potom sa môže vykonať goniometrická substitúcia:

# 10x - x ^ 2 = 25 - (x-5) ^ 2 #

To, čo si všimneme, je v klasickom goniometrickom substitučnom tvare, tzn. Na štvorci čísla mínus štvorec lineárneho #X# Funkcie.

Po prvé, aby sme sa zbavili lineárneho, necháme #u = x-5 #, ktorý dáva # Du = dx #, takže môžeme vyššie uvedený integrál prepísať ako:

#int sqrt (25-u ^ 2) du #

Teraz pre druhú substitúciu, nech #u = 5sintheta #, ktorá mení integrál na:

#int sqrt (25 - 25sin ^ 2theta) dx #

# = int abs (5costheta) dx # (môžeme ignorovať absolútne hodnoty zátvoriek)

Samozrejme # # Dx nepomáha, takže rozlišujeme substitučnú rovnicu, aby sme získali: #du = 5costheta d theta #, takže integrál sa stáva:

# 25 int cos ^ 2 theta d theta #

Teraz môžeme použiť dvojitý uhol vzorec, aby sa integrácia # cos ^ 2 theta # ľahšie:

#cos (2 theta) = 2cos ^ 2theta -1 #

#:. cos ^ 2theta = 1/2 (cos (2theta) +1) #

Takže integrál sa stáva:

# 25/2 int cos (2theta) + 1 d theta #

# = 25/2 (1 / 2sin (2 theta) + theta) + c #

# = 25/2 (sinthetacostheta + theta) + c # (pomocou vzorca s dvojitým uhlom)

teraz, #sintheta = u / 5 = (x-5) / 5 #

Z toho dôvodu, #cos theta = sqrt (1-u ^ 2/25) = sqrt ((- x ^ 2 + 10x-20) / 25) #

a #theta = arcsin (u / 5) = arcsin ((x-5) / 5) #

#int sqrt (10x - x ^ 2) dx #

# = 25/2 (((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-20x + 20)) / 25 + arcsin ((x-5) / 5) + c #

# = 1/2 (((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-10x + 20)) + 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) + c #