Ako hodnotíte integrál int (dt) / (t-4) ^ 2 od 1 do 5?

odpoveď:

náhradka # X = t-4 #

Odpoveď je, ak ste skutočne požiadaní, aby ste našli integrál:

#-4/3#

Ak hľadáte oblasť, nie je to také jednoduché.

vysvetlenie:

# Int_1 ^ 5DT / (t-4) ^ 2 #

zostava:

# T-4 = x #

Preto diferenciácia:

# (D (T-4)) / dt = dx / dt #

# 1 = dx / dt #

# Dt = dx #

A limity:

# X 1 = t_1-4 = 1-4 = -3 #

# X_2 = t_2-4 = 5-4 = 1 #

Nahraďte tieto tri nájdené hodnoty:

# Int_1 ^ 5DT / (t-4) ^ 2 #

#int _ (- 3) ^ 1DX / x ^ 2 #

#int _ (- 3) ^ 1 x ^ -2dx #

# 1 / (- 2 + 1) x ^ (- 2 + 1) _ (- 3) ^ 1 #

# - x ^ -1 _ (- 3) ^ 1 #

# - 1 / x _ (- 3) ^ 1 #

#-(1/1-1/(-3))#

#-(1+1/3)#

#-4/3#

POZNÁMKA: NEPREČÍTAJTE TIETO AK ČI NIE JE PODPOROVANÉ AKO NÁJDETE PRIESTOR, Aj keď by to malo predstavovať oblasť medzi týmito dvoma limitmi a keďže je vždy pozitívna, mala by byť pozitívna. Táto funkcia je však nie kontinuálne na # X = 4 # takže tento integrál nepredstavuje oblasť, ak je to to, čo ste chceli. Je to trochu zložitejšie.

odpoveď:

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = -4 / 3 #

vysvetlenie:

# int_1 ^ 5 (dt) / (t-2) ^ 2 "" t-2 = u ";" d t = d u #

# int_1 ^ 5 (d u) / u ^ 2 = int _1 ^ 5 u ^ -2 d u = | u ^ (- 2 + 1) / (- 2 + 1) | _1 ^ 5 = | -u ^ -1 | _1 ^ 5 #

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = | -1 / u | _1 ^ 5 = | -1 / (t-2) | _1 ^ 5 #

# int_1 ^ 5 (dt) / (t-2) ^ 2 = -1 / ((5-2)) + 1 / ((1-2)) #

# int_1 ^ 5 (dt) / (t-2) ^ 2 = -1 / 3-1 = -4 / 3 #

odpoveď:

V závislosti od toho, koľko integrácie ste sa naučili "najlepšiu" odpoveď, bude buď: "integrál nie je definovaný" (zatiaľ) alebo "integrál sa odlišuje"

vysvetlenie:

Keď sa snažíme vyhodnotiť # int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #, mali by sme skontrolovať, či je integrand definovaný v intervale, nad ktorým sa integrujeme.

# 1 / (x-4) ^ 2 # nie je definované v #4#Tak to je nie definovaný na celom intervale #1,5#.

Čoskoro v štúdiu počtu, definujeme integrál začatím

"Nech # F # definovať na intervale # A, b #… '

Takže čoskoro v našej štúdii je najlepšia odpoveď

# int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx # #' '# nie je definovaná (ešte?)

Neskôr rozširujeme definíciu k tomu, čo sa nazýva "nevhodné integrály"

Patria sem integrály na neobmedzených intervaloch (# (- oo, b #, # A, oo) # a # (- oo, oo) #) a tiež intervaly, na ktorých má integrand body, v ktorých nie je definovaný.

Ak chcete (vyskúšať) vyhodnotiť # int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #, hodnotíme dva nevhodné integrály # int_1 ^ 4 1 / (x-4) ^ 2 dx + int_4 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #.

(Všimnite si, že integrand na nich ešte nie je definovaný zatvorené intervaly.)

Metóda má nahradiť bod, kde je integrand nedefinovaný premennou, a potom vziať limit, keď sa táto premenná približuje číslu.

# int_1 ^ 4 1 / (x-4) ^ 2 dx = lim_ (brarr4 ^ -) int_1 ^ b 1 / (x-4) ^ 2 dx #

Nájdime najprv integrál:

# int_1 ^ b 1 / (x-4) ^ 2 dx = -1 / (x-4) _ 1 ^ b #

# = (-1 / (b-4)) - (- 1 / (- 3)) #

# = -1 / (b-4) -1 / 3 #

Hľadáte limit ako # Brarr4 ^ - #, vidíme, že limit neexistuje. (As # Brarr4 ^ - #, hodnota # -1 / (b-4), # zvyšuje bez viazania.)

Preto integrál #1,4# neexistuje tak integrál #1,5# neexistuje.

Hovoríme, že integrál sa odlišuje.

Poznámka

Niektorí by povedali: teraz máme definícia integrálu, neexistuje jednoducho žiadne číslo, ktoré by vyhovovalo definícii.