Čo znamená hranica nekonečnej postupnosti?

Limit nekonečnej sekvencie nám hovorí o dlhodobom správaní.

Vzhľadom na postupnosť reálnych čísel # # A_n, je to limit #lim_ (n až oo) a_n = lim a_n # je definovaná ako jediná hodnota, ku ktorej sekvencia pristupuje (ak sa blíži k akejkoľvek hodnote), keď vytvárame index # N # väčší. Limit sekvencie nie vždy existuje. Ak sa tak stane, sekvencia sa hovorí zbiehavý, inak je to tak rozdielny.

Dva jednoduché príklady:

• Zvážte postupnosť # 1 / n #, Je ľahké zistiť, že je to limit #0#, V skutočnosti, vzhľadom k akejkoľvek pozitívnej hodnote blízkej #0#, môžeme vždy nájsť dosť veľkú hodnotu # N # takýmto spôsobom # 1 / n # je nižšia ako táto daná hodnota, čo znamená, že jej limit musí byť menší alebo rovný nule. Tiež, každý termín sekvencie je väčší ako nula, takže je to limit musí byť väčší alebo rovný nule. Preto je #0#.

• Vezmite konštantnú postupnosť #1#, To znamená pre akúkoľvek danú hodnotu # N #, termín # # A_n Sekvencia je rovná #1#, Je jasné, že bez ohľadu na to, aký veľký sme # N # hodnota sekvencie je #1#, Takže je to limit #1#.

Pre prísnejšiu definíciu, nech # # A_n byť sledom reálnych čísel (tj #forall n v NN: a_n v RR #) a #epsilon v RR #, Potom číslo # A # sa hovorí, že je limit sekvencie # # A_n ak a len vtedy, ak:

#forall epsilon> 0 existuje N v NN: n> N => | a_n - a | <epsilon #

Táto definícia je ekvivalentná k neformálnej definícii uvedenej vyššie, okrem toho, že nepotrebujeme uvaliť jednotnosť pre limit (dá sa to odvodiť).