Aké sú korene jednoty? - Precalculus 2024

Koreň jednoty je komplexné číslo, ktoré keď sa zvýši na nejaké kladné celé číslo, vráti sa 1.

Je to akékoľvek zložité číslo # Z # ktorá spĺňa túto rovnicu: t

# z ^ n = 1 #

kde #nv NN #, čo znamená, že n je prirodzené číslo. Prirodzené číslo je akékoľvek kladné číslo: (n = 1, 2, 3, …). Toto je niekedy označované ako počítadlo a notácia pre to je # # NN.

Pre každého # N #môže byť viac # Z # hodnoty, ktoré spĺňajú túto rovnicu, a tieto hodnoty zahŕňajú korene jednoty pre toto n.

Kedy #n = 1 #

Korene jednoty: #1#

Kedy #n = 2 #

Korene jednoty: #-1, 1#

Kedy #n = 3 #

Korene jednoty # 1, (1 + sqrt (3) i) / 2, (1 - sqrt (3) i) / 2 #

Kedy #n = 4 #

Korene jednoty # -1, i, 1, -i #

Ak súčet kocky koreňov jednoty je 0 Potom dokázať, že Produkt kocky korene jednoty = 1 Každý?

"Pozri vysvetlenie" z ^ 3 - 1 = 0 "je rovnica, ktorá poskytuje korene kocky" "jednoty. Takže môžeme použiť teóriu polynómov na záver, že" z_1 * z_2 * z_3 = 1 "(Newtonove identity ). " "Ak ho chcete skutočne vypočítať a skontrolovať:" z ^ 3 - 1 = (z - 1) (z ^ 2 + z + 1) = 0 => z = 1 "ALEBO" z ^ 2 + z + 1 = 0 => z = 1 "OR" z = (-1 pm sqrt (3) i) / 2 => (z_1) * (z_2) * (z_3) = 1 * ((- 1 + sqrt (3) i ) / 2) * (- 1-sqrt (3) i) / 2 = 1 * (1 + 3) / 4 = 1

Q.1 Ak alfa, beta sú korene rovnice x ^ 2-2x + 3 = 0, získajte rovnicu, ktorej korene sú alfa ^ 3-3 alfa ^ 2 + 5 alfa -2 a beta ^ 3-beta ^ 2 + beta + 5?

Q.1 Ak alfa, beta sú korene rovnice x ^ 2-2x + 3 = 0, získajte rovnicu, ktorej korene sú alfa ^ 3-3 alfa ^ 2 + 5 alfa -2 a beta ^ 3-beta ^ 2 + beta + 5? Odpoveď daná rovnica x ^ 2-2x + 3 = 0 => x = (2pmsqrt (2 ^ 2-4 * 1 * 3)) / 2 = 1pmsqrt2i Nech alfa = 1 + sqrt2i a beta = 1-sqrt2i Teraz nech gamma = a ^ 3-3 a ^ 2 + 5 alfa-2 => gama = a ^ 3-3 a ^ 2 + 3 alfa-1 + 2alfa-1 => gama = (alfa-1) ^ 3 + alfa-1 + alpha => gamma = (sqrt2i) ^ 3 + sqrt2i + 1 + sqrt2i => gamma = -2sqrt2i + sqrt2i + 1 + sqrt2i = 1 A nech delta = beta ^ 3-beta ^ 2 + beta + 5 => delta = beta ^ 2 (beta-1) + beta + 5 =>

Napíšte zjednodušenú kvartickú rovnicu s celočíselnými koeficientmi a kladnými počiatočnými koeficientmi čo najmenšími, ktorých jednotlivé korene sú -1/3 a 0 a majú dvojitý koreň ako 0,4?

75x ^ 4-35x ^ 3-8x ^ 2 + 4x = 0 Máme korene: x = -1 / 3, 0, 2/5, 2/5 Potom môžeme povedať: x + 1/3 = 0, x = 0, x-2/5 = 0, x-2/5 = 0 A potom: (x + 1/3) (x) (x-2/5) (x-2/5) = 0 A teraz začína násobenie: (x ^ 2 + 1 / 3x) (x-2/5) (x-2/5) = 0 (x ^ 2 + 1 / 3x) (x ^ 2-4 / 5x + 4/25) = 0 x ^ 4 + 1 / 3x ^ 3-4 / 5x ^ 3-4 / 15x ^ 2 + 4 / 25x ^ 2 + 4 / 75x = 0 75x ^ 4 + 25x ^ 3-60x ^ 3-20x ^ 2 + 12x ^ 2 + 4x = 0 75x ^ 4-35x ^ 3-8x ^ 2 + 4x = 0