Bez grafov, ako sa rozhodujete, či má nasledujúci systém lineárnych rovníc jedno riešenie, nekonečne veľa riešení alebo žiadne riešenie?

odpoveď:

Systém # N # lineárne rovnice s # N # neznáme premenné, ktoré neobsahujú lineárnu závislosť medzi rovnicami (inými slovami, jej determinant nula) bude mať jedno a len jedno riešenie.

vysvetlenie:

Uvažujme o systéme dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi premennými:

# Ax + By = C #

# Dx + Ey = F #

Ak pár # (A, B), # nie je úmerná dvojici # (D, E), # (to znamená, že takéto číslo neexistuje # K # že # D = kA # a # E = kB #, ktorý môže byť kontrolovaný podmienkou # A * E-B * D! = 0 #) existuje jedno a len jedno riešenie:

# X = (C * E-B * F) / (A * E-B * D) #, # Y = (A * F-C * D) / (A * E-B * D) #

príklad:

# X + y = 3 #

# X-2y = -3 #

Riešenie:

# X = (3 * (- 2) -1 * (- 3)) / (1 * (- 2) -1 * 1) = 1 #

# Y = (1 * (- 3) -3 * 1) / (1 * (- 2) -1 * 1) = 2 #

Ak pár # (A, B), # je úmerná dvojici # (D, E), # (čo znamená, že takéto číslo existuje # K # že # D = kA # a # E = kB #, ktorý môže byť kontrolovaný podmienkou # A * E-B * D = 0 #), existujú dva prípady: t

a) nekonečný počet riešení, ak. t # C # a # F # sú proporcionálne s rovnakým koeficientom ako # A # a # D #, to znamená # F = kC #, kde # K # je rovnaký koeficient proporcionality;

príklad:

# X + y = 3 #

# 2x + 2y = 6 #

Tu # K = 2 # pre všetky páry: # D = 2A #, # E = 2B #, # F = 2C #.

Druhá rovnica je triviálnym dôsledkom prvého (len vynásobte prvú rovnicu pomocou #2#), a preto neposkytuje žiadne ďalšie informácie o neznámom, účinne redukujúc počet rovníc na 1.

b) žiadne riešenia vôbec, ak #F! = KC #

príklad:

# X + 4y = 3 #

# 2x + 8Y = 5 #

V tomto prípade sa rovnice vzájomne protirečia, pretože vynásobením prvých 2 sa odvodzujeme od rovnice # 2x + 8Y = 6 #, ktoré nemôžu mať spoločné riešenie # 2x + 8Y = 5 # pretože ľavá časť týchto dvoch rovníc je rovnaká, ale správne časti nie sú.