Otázka č. 3cbbc

odpoveď:

# int_0 ^ (pi / 4) (sin x + cos x) / (3 + sin 2x) dx = 0.2746530521 #

vysvetlenie:

Moje riešenie je Simpsonovým pravidlom, aproximačným vzorcom

# int_a ^ b y * dx ~ = #

# H / 3 (y_0 + 4 * y_1 + 2 * y_2 + 4 * y_3 + 2 * y_4 + ….. + 4 * y_ (n-1) + y_n) #

Kde # H = (b-a) / n # a # B # horný limit a. t # A # dolnú hranicu

a # N # akékoľvek párne číslo (čím väčšie, tým lepšie)

Vybral som si

# N = 20 #

daný # B = pi / 4 # a # A = 0 #

# H = (pi / 4-0) / 20 = pi / 80 #

Toto je spôsob výpočtu. každý # y = (sin x + cos x) / (3 + sin 2x) # použije inú hodnotu

pre # # Y_0

# X_0 = (a + 0 * h) = (0 + 0 * pi / 80) = 0 #

# y_0 = (sin x_0 + cos x_0) / (3 + sin 2x_0) #

# y_0 = (sin (0) + cos (0)) / (3 + sin 2 (0)) #

#COLOR (red) (y_0 =, 3333333333333) #

pre # 4 * y_1 #

# X 1 = (a + 1 * h) = (0 + 1 * pi / 80) = pi / 80 #

# 4 * y_1 = 4 * (sin x_1 + cos x_1) / (3 + sin 2x_1) #

# 4 * y_1 = 4 * (sin (pi / 80) + cos (pi / 80)) / (3 + sin (2 (pi / 80))) # #

#COLOR (červená) (4 * y_1 = 1,3493618978936) #

pre # 2 * y_2 #

# X_2 = (a + 2 * h) = (0 + 2 * pi / 80) = 2 * pi / 80 #

# 2 * y_2 = 2 * (sin x_2 + cos x_2) / (3 + sin 2x_2) #

# 2 * y_2 = 2 * (sin ((2pi) / 80) + cos ((2pi) / 80)) / (3 + sin 2 ((2pi) / 80)) #

#COLOR (červená) (2 * y_2 =, 68138682514816) #

pre # 4 * y_3 #

# X_3 = (a + 3 * h) = (0 + 3 * pi / 80) = 3 * pi / 80 #

# 4 * y_3 = 4 * (sin x_3 + cos x_3) / (3 + sin 2x_3) #

# 4 * y_3 = 4 * (sin ((3pi) / 80) + cos ((3pi) / 80)) / (3 + sin 2 ((3pi) / 80)) #

#COLOR (červená) (4 * y_3 = 1,3738977832468) #

pre # 2 * y_4 #

# X_4 = (a + 4 * h) = (0 + 4 * pi / 80) = 4 * pi / 80 #

# 2 * y_4 = 4 * (sin x_4 + cos x_4) / (3 + sin 2x_4) #

# 2 * y_4 = 4 * (sin ((4pi) / 80) + cos ((4pi) / 80)) / (3 + sin 2 ((4pi) / 80)) #

#COLOR (červená) (2 * y_4 =, 69151824096418) #

zvyšok je nasledovný

#COLOR (červená) (4 * y_5 = 1,3904648494964) #

#COLOR (červená) (2 * y_6 =, 69821575035862) #

#COLOR (červená) (4 * y_7 = 1,4011596185484) #

#COLOR (červená) (2 * y_8 =, 70242415421322) #

#COLOR (červená) (4 * y_9 = 1,4076741205702) #

#COLOR (červená) (2 * y_10 =, 70489632049832) #

#COLOR (červená) (4 * y_11 = 1,4113400771087) #

#COLOR (červená) (2 * y_12 =, 7062173920012) #

#COLOR (červená) (4 * y_13 = 1,4131786935757) #

#COLOR (červená) (2 * y_14 =, 7068293103707) #

#COLOR (červená) (4 * y_15 = 1,4139474301694) #

#COLOR (červená) (2 * y_16 =, 70705252678954) #

#COLOR (červená) (4 * y_17 = 1,414179352209) #

#COLOR (červená) (2 * y_18 =, 70710341105534) #

#COLOR (červená) (4 * y_19 = 1,4142131417552) #

#COLOR (red) (y_20 =, 35355339059328) #

Súčet všetkých týchto #COLOR (red) ("sum" = 20,98194762) #

# int_0 ^ (pi / 4) (sin x + cos x) / (3 + sin 2x) dx = (h / 3) * "súčet" #

# int_0 ^ (pi / 4) (sin x + cos x) / (3 + sin 2x) dx = ((pi / 80) / 3) * 20,98194762 #

# int_0 ^ (pi / 4) (sin x + cos x) / (3 + sin 2x) dx = farba (červená) (0.2746530521) #

Alternatívou je jednoducho použiť grafickú kalkulačku počas zložitej integrácie s presnejšou hodnotou

#COLOR (red) (=, 2746530722) #

Boh žehnaj … Dúfam, že vysvetlenie je užitočné.

odpoveď:

# INT_0 ^ (pi / 4) (sin (x) + cos (x)) / (3 + sin (2x)) dx = ln (3) / 4 #

vysvetlenie:

Budeme postupovať pomocou substitúcie. Po prvé, prejdeme nejakou algebrou, aby sme získali integrand do vhodnejšej formy.

# 3 + sin (2x) = 3 + 2sin (x) cos (x) #

# = 4 + 2sin (x) cos (x) - 1 #

# = 4 + 2sin (x) cos (x) - sin ^ 2 (x) -cos ^ 2 (x) #

# = 4 - (sin (x) -cos (x)) ^ 2 #

# = (2 + sin (x) - cos (x)) (2 - sin (x) + cos (x)) #

# => (sin (x) + cos (x)) / (3 + sin (2x)) = (sin (x) + cos (x)) / ((2 + sin (x) -cos (x)) (2-sin (x) + cos (x))) #

# = (4 (sin (x) + cos (x))) / (4 (2 + sin (x) -cos (x)) (2-sin (x) + cos (x)) #

# = (sin (x) + cos (x)) / 4 xx #

# Xx4 / ((2 + sin (x) -cos (x)) (2-sin (x) + cos (x))) #

# = (sin (x) + cos (x)) / 4 xx #

#xx (1 / (2 + sin (x) -cos (x)) + 1 / (2-sin (x) + cos (x))) #

# = 1 / 4xx (sin (x) + cos (x)) / (2 + sin (x) -cos (x)) - 1 / 4xx (-sin (x) -cos (x)) / (2- sin (x) + cos (x)) #

Pomocou toho môžeme rozdeliť integrál:

# int_0 ^ (pi / 4) (sin (x) + cos (x)) / (3 + sin (2x)) dx = #

# = 1 / 4int_0 ^ (pi / 4) (sin (x) + cos (x)) / (2 + sin (x) -cos (x)) dx #

# - 1 / 4int_0 ^ (pi / 4) (- sin (x) -cos (x)) / (2-sin (x) + cos (x)) dx #

Pre prvý integrál pomocou substitúcie #u = 2 + sin (x) - cos (x) # dáva nám #du = (sin (x) + cos (x)) dx # a hranice integrácie sa menia z #0# a # Pi / 4 # na #1# a #2#, Tak sa dostaneme

# 1 / 4int_0 ^ (pi / 4) (sin (x) + cos (x)) / (2 + sin (x) -cos (x)) dx = int_1 ^ 2 1 / udu #

# = 1/4 (ln | u |) _1 ^ 2 #

# = 1/4 (ln (2) -ln (1)) #

# = 1 / 4ln (2) #

Pre druhý integrál pomocou substitúcie #u = 2 - sin (x) + cos (x) # dáva nám #du = (-sin (x) -cos (x)) dx # a hranice integrácie sa menia z #0# a # Pi / 4 # na #3# a #2#, Tak sa dostaneme

# -1 / 4int_0 ^ (pi / 4) (- sin (x) -cos (x)) / (2-sin (x) + cos (x)) dx = -1 / 4int_3 ^ 2 1 / udu #

# = 1 / 4int_2 ^ 3 1 / udu #

# = 1/4 (ln (3) -ln (2)) #

# = 1/4 (ln (3/2)) #

Nahradenie hodnôt integrálu nám dáva požadovaný výsledok:

# int_0 ^ (pi / 4) (sin (x) + cos (x)) / (3 + sin (2x)) dx = 1 / 4ln (2) + 1 / 4ln (3/2) #

# = 1/4 (ln (2) + ln (3/2)) #

# = 1 / 4ln (2 * 3/2) #

# = Ln (3) / 4 #