Keď robíte langrage multiplikátory pre kalkul 3 ... povedzme, že som už našiel svoje kritické body a mám z toho hodnotu. ako viem, či je to min alebo max hodnota?

odpoveď:

Jedným z možných spôsobov je Hesenský (2. derivátový test)

vysvetlenie:

Typicky na kontrolu, či kritické body sú min alebo max, budete často používať Druhý derivátový test, ktorý vyžaduje, aby ste našli 4 čiastkové deriváty, za predpokladu, # F (x, y) #:

# F _ { "xx"} (x, y) #, # F _ { "xy"} (x, y) #, # F _ { "yx"} (x, y) #a # F _ { "rr"} (x, y) #

Všimnite si, že ak obe # F _ { "xy"} # a # F _ { "yx"} # sú kontinuálne v regióne záujmu, budú rovnaké.

Akonáhle budete mať tieto 4 definované, potom môžete použiť špeciálnu maticu, ktorá sa nazýva Hessian, aby ste našli determinant tejto matice (ktorá je dosť mätú často označovaná aj ako Hessian), ktorá vám poskytne nejaké informácie o charakter bodu. Definujte Hessian Matrix ako:

#H = | (f_ {"xx"} farba (biela) (, aa) f_ {xy}), (f_ {yx} farba (biela) (, aa) f_ {yy}) | #

Akonáhle budete mať túto maticu vytvorenú (a bude to "funkčná" matica, pretože obsah bude funkciou x a y), potom môžete zobrať jeden zo svojich kritických bodov a vyhodnotiť celý determinant matice. Ide o:

#det (H) = (f_ {"xx"} (x_0, y_0) * f_ {"yy"} (x_0, y_0)) - (f_ {"xy"} (x_0, y_0)) ^ 2 #

V závislosti od výsledkov tohto výpočtu sa môžete dozvedieť o povahe kritického bodu:

ak #H> 0 #, tam je min / max. Skontrolujte znamienko # F _ { "xx"} #, Ak je pozitívny, bod je min. Ak je záporná, bod je max. (Toto je analogické s "tradičným" 2. derivačným testom pre funkcie s jednou premennou x.)

ak #H <0 #, na tom mieste je sedlo.

ak #H = 0 #, test je nejednoznačný a musíte sa spoliehať na iné prostriedky, ako napríklad graf funkcie, ktorý sa má vizuálne určiť.