Ako nájsť prvú deriváciu f (x) = 2 hriech (3x) + x?

odpoveď:

# F '(x) = 6cos (3x) + 1 #

vysvetlenie:

Odlíšiť každý výraz:

# (D (x)) / dx = 1 #

Pomocou pravidiel reťazca pre druhý termín máme:

#G (x) = h (k (x)) => g '(x) = k' (x) h '(k (x)) #

# H (u) = 2sin (u) => h '(u) = 2cos (u) #

#K (x) = 3x => k '(x) = 3 #

#G (x) = 2sin (3x) => g '(x) = 6cos (3x) #

Spoločne máme:

# F '(x) = 6cos (3x) + 1 #

odpoveď:

Žiadame, aby sme našli deriváciu #f (x) = 2sin (3x) + x # pomocou definície: #f '(x) = lim_ (hrarr0) (f (x + h) - f (x)) / (h) #.

vysvetlenie:

Musíme vyhodnotiť:

#lim_ (hrarr0) (overbrace (2sin (3 (x + h)) + (x + h)) ^ (f (x + h)) - overbrace (2sin (3x) + x) ^ f (x)) / h #.

To bude ťažkopádne. Aby to vyzeralo menej komplikovane, rozdelme výraz do dvoch jednoduchších častí. Trigonometrickú časť a lineárnu časť budeme brať oddelene.

#lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) - 2sin3x) / h + lim_ (hrarr0) ((x + h) -x) / h #

Predpokladám, že môžete ukázať, že druhá hranica je #1#, Čím náročnejší limit je limit zahŕňajúci trigonometrické funkcie.

#lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) - 2sin3x) / h = 2lim_ (hrarr0) (sin (3x + 3h) - sin3x) / h #

# = 2lim_ (hrarr0) (overbrace ((sin3xcos3h + cos3xsin3h)) ^ sin (3x + 3h) - sin3x) / h #

# = 2lim_ (hrarr0) (sin3xcos3x -sin3x + cos3xsin3x) / h #

# = 2lim_ (hrarr0) ((sin3x (cos3h - 1)) / h + (cos3xsin3h) / h) #

# = 2lim_ (hrarr0) (sin3x (cos3h - 1) / h + cos3x (sin3h) / h) #

# = 2 lim_ (hrarr0) sin3x lim_ (hrarr0) (cos3h - 1) / h + lim_ (hrarr0) cos3x lim_ (hrarr0) (sin3h) / h # h.

# = 2 (lim_ (hrarr0) sin3x) (3lim_ (hrarr0) (cos3h - 1) / (3h)) (lim_ (hrarr0) cos3x) (3lim_ (hrarr0) (sin3h) / (3h)) # #

# = 2 (sin3x) (3 * 0) + (cos3x) (3 * 1) #

# = 2 (3cos3x) = 6cos (3x) #

Takže keď dáme dva kusy dohromady, dostaneme:

#f '(x) = lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) + (x + h) - 2sin (3x) + x) / h #

# = lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) - 2sin3x) / h + lim_ (hrarr0) ((x + h) -x) / h #

# = 6cos (3x) + 1 #