Aké je riešenie diferenciálnej rovnice dy / dt = e ^ t (y-1) ^ 2?

odpoveď:

Všeobecné riešenie je:

# y = 1-1 / (e ^ t + C) #

vysvetlenie:

Máme:

# dy / dt = e ^ t (y-1) ^ 2 #

Môžeme zhromažďovať výrazy pre podobné premenné:

# 1 / (y-1) ^ 2 d / dt = e ^ t #

Čo je separátna lineárna diferenciálna rovnica prvého rádu, takže môžeme "oddeliť premenné" získať:

# int 1 / (y-1) ^ 2 d = int e ^ t d # #

Oba integrály sú štandardnými funkciami, takže tieto znalosti môžeme použiť na priamu integráciu:

# -1 / (y-1) = e ^ t + C #

A môžeme ľahko zmeniť usporiadanie # Y #:

# - (y-1) = 1 / (e ^ t + C) #

#:. 1-y = 1 / (e ^ t + C) #

Vedenie všeobecného riešenia:

# y = 1-1 / (e ^ t + C) #

odpoveď:

# Y = -1 / (e ^ t + C) + 1 #

vysvetlenie:

Toto je oddeliteľná diferenciálna rovnica, čo znamená, že môže byť zapísaná vo forme:

# Dy / dx * f (y) = G (x) #

Dá sa vyriešiť integráciou oboch strán:

#int f (y) d = int g (x) dx #

V našom prípade musíme najprv integrál integrovať do správnej formy. Môžeme to urobiť rozdelením oboch strán # (Y-1) ^ 2 #:

# Dy / dt * 1 / (y-1) ^ 2 = e ^ tcancel ((y-1) ^ 2 / (y-1) ^ 2) #

# Dy / dt * 1 / (y-1) ^ 2 = e ^ t #

Teraz môžeme integrovať obe strany:

#int 1 / (y-1) ^ 2 d = int ^ t

#int 1 / (y-1) ^ 2 d = e ^ t + C_1 #

Ľavý integrál môžeme vyriešiť náhradou # U = y-1 #:

#int 1 / u ^ 2 = e ^ t + C_1 #

#int ^ -2 = e ^ t + C_1 #

# U ^ -1 / (- 1) + C_2 = e ^ t + c_1 #

Striedanie (a kombinovanie konštánt) dáva:

# -1 / (y-1) = e ^ t + C_3 #

Vynásobte obe strany podľa # Y-1 #:

# -1 = (e ^ t + C_3) (y-1) #

Rozdeľte obe strany podľa # E ^ t + C_3 #:

# -1 / (e ^ t + C_3) = y-1 #

# Y = -1 / (e ^ t + C) + 1 #