Aké je všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice y '' '- y' '+ 44y'-4 = 0?

# "Charakteristická rovnica je:" #

# z ^ 3 - z ^ 2 + 4 z = 0 #

# => z (z ^ 2 - z + 4) = 0 #

# => z = 0 "ALEBO" z ^ 2 - z + 4 = 0 #

# "disk quad. eq. = 1 - 16 = -15 <0" #

# "takže máme dve komplexné riešenia," #

#z = (1 pm sqrt (15) i) / 2 #

# "Takže všeobecné riešenie homogénnej rovnice je:" #

#A + B 'exp (x / 2) exp ((sqrt (15) / 2) i x) + #

#C 'exp (x / 2) exp (- (sqrt (15) / 2) i x) #

# = A + B exp (x / 2) cos (sqrt (15) x / 2) + C exp (x / 2) sin (sqrt (15) x / 2) #

# "Konkrétne riešenie úplnej rovnice je" #

# "y = x," #

# "To je ľahké vidieť." #

# "Takže kompletné riešenie je:" #

#y (x) = x + A + B exp (x / 2) cos (sqrt (15) x / 2) + C exp (x / 2) sin (sqrt (15) x / 2) #

odpoveď:

# y = A + e ^ (1 / 2x) {Bcos (sqrt (15) / 2x) + Csin (sqrt (15) / 2x)} + x #

vysvetlenie:

Máme:

# y '' '- y' '+ 44y'-4 = 0 #

Alebo, alternatívne:

# y '' '- y' '+ 4y' = 4 # ….. A

Toto je tretina lineárna lineárna nehomogénna diferenciačná rovnica s konštantnými koeficientmi. Štandardným prístupom je nájsť riešenie, # # Y_c homogénnej rovnice pri pohľade na pomocnú rovnicu, čo je rovnica polynómu s koeficientmi derivátov, a potom nájdenie samostatného konkrétneho riešenia, # # Y_p nehomogénnej rovnice.

Korene pomocnej rovnice určujú časti riešenia, ktoré, ak sú lineárne nezávislé, potom superpozícia roztokov tvorí úplné všeobecné riešenie.

• Skutočné odlišné korene # m = alfa, beta, … # poskytne lineárne nezávislé riešenia formy # Y_1 = Ae ^ (alphax) #, # Y_2 = Be ^ (Betaxa) #, …
• Skutočné opakované korene # M = alfa #, poskytne riešenie formy # Y = (Ax + B) e ^ (alphax) # kde polynóm má rovnaký stupeň ako opakovanie.
• Komplexné korene (ktoré sa musia vyskytovať ako konjugované páry) # M = p + -QI # bude poskytovať dvojice lineárne nezávislých riešení formy # Y = e ^ (px) (Acos (qx) + Bsin (qx)) #

Konkrétne riešenie

S cieľom nájsť konkrétne riešenie nehomogénnej rovnice:

# y '' '- y' '+ 4y' = f (x) t s #f (x) = 4 # ….. C

potom ako # F (x) # je polynóm stupňa #0#, hľadali by sme polynómové riešenie rovnakého stupňa, t.j. formy #y = a #

Takéto riešenie však už existuje v riešení CF, a preto musí zvážiť potenciálne riešenie formulára # Y = ax #, Kde sú konštanty # A # sa určí priamou substitúciou a porovnaním: t

rozlišovanie # Y = ax # WRT #X# dostaneme:

# y '= a #

# y '' = 0 #

# y '' '= 0 #

Nahradením týchto výsledkov do DE A dostaneme:

# 0-0 + 4a = 4 => a = 1 #

A tak vytvárame Osobitné riešenie:

# y_p = x #

Všeobecné riešenie

Ktorý potom vedie k GS A}

# y (x) = y_c + y_p #

# = A + e ^ (1 / 2x) {Bcos (sqrt (15) / 2x) + Csin (sqrt (15) / 2x)} + x #

Všimnite si, že toto riešenie má #3# konštanty integrácie a. t #3# lineárne nezávislé riešenia, teda teórie existencie a jedinečnosti, ich superpozícia je všeobecné riešenie