Ako zistíte Limit (ln x) ^ (1 / x) ako x sa blíži nekonečne?

odpoveď:

#lim_ (xrarroo) (ln (x)) ^ (1 / x) = 1 #

vysvetlenie:

Začneme s celkom bežným trikom, keď sa zaoberáme premenlivými exponentmi. Môžeme zobrať prirodzený záznam niečoho a potom ho zvýšiť ako exponenciálu exponenciálnej funkcie bez toho, aby sme zmenili jeho hodnotu, pretože to sú inverzné operácie - ale to nám umožňuje využívať pravidlá logov užitočným spôsobom.

#lim_ (xrarroo) (ln (x)) ^ (1 / x) = lim_ (xrarroo) exp (ln ((ln (x)) ^ (1 / x))) #

Použitie pravidla exponentov denníkov:

# = lim_ (xrarroo) exp (1 / xln (ln (x))) #

Všimnite si, že je to exponent, ktorý sa mení ako # # Xrarroo takže sa na ňu môžeme sústrediť a presunúť exponenciálnu funkciu mimo:

# = Exp (lim_ (xrarroo) (ln (ln (x)) / x)) #

Ak sa pozriete na správanie prirodzenej logovacej funkcie, všimnete si, že ako x má sklon k nekonečnu, hodnota funkcie má tiež sklon k nekonečnu, aj keď veľmi pomaly. Keď to vezmeme #ln (ln (x)) # máme premennú vo vnútri log funkcie, ktorá má tendenciu k nekonečnu veľmi pomaly, čo znamená, že máme celkovú funkciu, ktorá má tendenciu k nekonečnu EXTRÉMNE pomaly. Nižšie uvedený graf sa vzťahuje len na # X = 1000 # ale ukazuje extrémne pomalý rast #ln (ln (x)) # aj v porovnaní s pomalým rastom. t #ln (x) #.

Z tohto správania môžeme vyvodiť, že #X# bude vykazovať oveľa rýchlejší asymptotický rast a že limit exponentu bude teda nulový. #color (blue) ("To znamená, že celkový limit = 1.") #

Tento bod môžeme tiež riešiť pravidlom L'hopital. Potrebujeme, aby bol limit v neurčitej forme, tj # 0/0 alebo oo / oo # skontrolujeme, či je to tento prípad:

#lim_ (xrarroo) ln (ln (x)) = ln (ln (oo)) = ln (oo) = oo #

#lim_ (xrarroo) x = oo #

Takýto prípad sa skutočne stáva takto:

# = Exp (lim_ (xrarroo) ((d / (dx) (ln (ln (x)))) / (D / (dx) x))) #

Rozlišovať #y = ln (ln (x)) # uznávame, že máme #y (u (x)) # a používať reťazové pravidlo

# (dy) / (dx) = (dy) / (du) (du) / (dx) #

#u = ln (x) znamená (du) / (dx) = 1 / x #

#y = ln (u) znamená (dy) / (du) = 1 / u = 1 / (ln (x)) #

#therefore (dy) / (dx) = 1 / (ln (x)) * 1 / x = 1 / (xln (x)) #

Derivácia #X# je #1#, Limit sa stane:

# = exp (lim_ (xrarroo) ((1 / (xln (x))) / 1) = exp (lim_ (xrarroo) (1 / (xln (x)))) # #

Oslovili sme, že obe funkcie menovateľa majú sklon k nekonečnu, takže máme

#exp (1 / oo) = exp (0) = 1 #