Zjednodušte úplne: 1 - 2 v 2 2 °?

Pripomeňme, že

#cos (2x) = 1 - 2 roky ^ 2x #

teda

#cos (40) = 1 - 2sin ^ 2 (20) #

Preto je náš výraz ekvivalentný #cos (40) #.

Dúfajme, že to pomôže!

odpoveď:

# 1 - 2 sin ^ 2 20 ^ circ = cos 40 ^ circ #

vysvetlenie:

"Úplne" je fuzzy cieľ v trig, ako uvidíme.

Po prvé, zmyslom tohto problému je rozpoznať sínusovú formu kosínusového dvojitého uhlového vzorca:

#cos (2 theta) = cos (theta + theta) = cos theta cos theta - sin theta sin theta ## = cos ^ 2 theta - sin ^ 2 theta = (1- sin ^ 2 theta) - sin ^ 2 theta #

#cos (2 theta) = 1 - 2 sin ^ 2 theta #

Toto napíšete # Theta = 20 ^ okruh #, #cos (2 (20 ^ circ)) = 1 - 2 sin ^ 2 20 ^ circ #

#cos 40 ^ circ = 1 - 2 sin ^ 2 20 ^ circ #

podľa všetkého #cos 40 ^ circ # je výsledok „úplne zjednodušený“.

To je odpoveď. Monzur navrhuje, aby som pred ďalšou časťou upozornil. Je to úplne voliteľné; čítajte ďalej, ak chcete vedieť viac #cos 40 ^ circ # a prestaňte čítať, ak nie.

#cos 40 ^ circ # je úplne zjednodušené, pretože v skutočnosti nie je lepší výraz, ktorý by sme preň mohli napísať #cos 40 ^ circ #. # 40 ^ okruh # nie je konštruovateľný s rovným a kompasovým. To znamená, že jeho trig trig funkcie nie sú výsledkom celých čísel zložených sčítaním, odčítaním, násobením a delením a odmocninami.

#cos 40 ^ circ # je vlastne koreň polynómovej rovnice s celočíselnými koeficientmi. # Theta = 40 ^ okruh # spĺňa rovnicu #cos (44 theta) = - cos (46 theta) #, ak #x = cos theta, # to je #T_ {44} (x) = -T_ {46} (x), # kde # T #s sú Chebyshevove polynómy prvého druhu. Namiesto dvojitých a trojitých vzorcov je to 44-násobný a 46-násobný uhol.

tak #cos (40 ^ okruh) # je jedným zo štyridsiatich šiestich koreňov:

Č. + 1423506847825920 x ^ 24 - 541167892561920 x ^ 22 + 162773155184640 x ^ 20 - 38370843033600 x ^ 18 + 6988974981120 x ^ 16 - 963996549120 x ^ 14 + 97905899520 x ^ 12 - 7038986240 x ^ 10 + 338412800 x ^ 8 - 9974272 x ^ 10 + 338412800 x ^ 8 + 155848 x ^ 4 - 968 x ^ 2 + 1 = - (35184372088832 x ^ 46 - 404620279021568 x ^ 44 + 2174833999740928 x ^ 42 - 7257876254949376 x ^ 40 + 16848641306132480 x ^ 38 - 28889255702953984 x ^ 36 + 378817251702953984 x ^ 38 38958828003262464 x ^ 32 + 31782201792135168 x ^ 30-20758645314682880 x ^ 28 + 10898288790208512 x ^ 26-4599927086776320 x ^ 24 + 1555857691115520 x ^ 22 - 418884762992640 x ^ 20 + 88826010009600 x ^ 18-14613311324160 x ^ 16 + 1826663915520 x ^ 14 - 168586629120 x ^ 12 + 11038410240 x ^ 10 - 484140800 x ^ 8 + 13034560 x ^ 6 - 186208 x ^ 4 + 1058 x ^ 2 - 1) #

To vôbec nie je jednoduché.