Aký je jednotkový vektor, ktorý je normálny k rovine obsahujúcej (2i - 3 j + k) a (2i + j - 3k)?

odpoveď:

# vecu = <(sqrt (3)) / 3, (sqrt (3)) / 3, (sqrt (3)) / 3> #

vysvetlenie:

Vektor, ktorý je normálny (ortogonálny, kolmý) k rovine obsahujúcej dva vektory, je tiež normálny voči obidvom uvedeným vektorom. Normálny vektor nájdeme tak, že vezmeme krížový produkt dvoch daných vektorov. Potom môžeme nájsť jednotkový vektor v rovnakom smere ako tento vektor.

Najprv napíšte každý vektor vo forme vektora:

# Veca = <2, -3,1> #

# Vecb = <2,1, -3> #

Krížový produkt, # # Vecaxxvecb sa nachádza podľa:

# Vecaxxvecb = abs ((veci, vecj, Veck), (2, 3,1), (2,1, -3)) #

Pre ja komponent, máme:

#(-3*-3)-(1*1)=9-(1)=8#

Pre j komponent, máme:

#-(2*-3)-(2*1)=--6-2=8#

Pre k komponent, máme:

#(2*1)-(-3*2)=2-(-6)=8#

Z tohto dôvodu # Večne = <8,8,8> #

Aby sme to urobili jednotkovým vektorom, rozdeľujeme vektor jeho veľkosťou. Veľkosť je daná:

# | Večne | = sqrt ((n_x) ^ 2 + (n_y) ^ 2 + (n_z) ^ 2) #

# | Večne | = sqrt ((8) ^ 2 + (8) ^ 2 + (8) ^ 2) #

# | Večne | = sqrt (64 + 64 + 64) = sqrt (192) = 8sqrt3 #

Jednotkový vektor je potom daný:

# Véču = (vecaxxvecb) / (| vecaxxvecb |) = (večný) / (| večný |) #

#vecu = (<8,8,8>) / (8sqrt (3)) #

# vecu = <1 / (sqrt (3)), 1 / (sqrt (3)), 1 / (sqrt (3))> #

Racionalizáciou menovateľa dostaneme:

# vecu = <(sqrt (3)) / 3, (sqrt (3)) / 3, (sqrt (3)) / 3> #