Ako zistíte presné hodnoty cos 2pi / 5?

odpoveď:

#cos (2pi / 5) = (- 1 + sqrt (5)) / 4 #

vysvetlenie:

Tu som našiel najelegantnejšie riešenie:

math.stackexchange.com/questions/7695/how-to-prove-cos-frac2-pi-5-frac-1-sqrt54

#cos (4Pi / 5) = cos (2pi-4Pi / 5) = cos (6pi / 5) #

Takže ak # x = 2pi / 5 #:

#cos (2x) = cos (3x) #

Nahradenie cos (2x) a cos (3x) ich všeobecnými vzorcami:

#color (červená) (cos (2x) = 2cos ^ 2x-1 a cos (3x) = 4cos ^ 3x-3cosx) #, dostaneme:

# 2cos ^ 2x-1 = 4cos ^ 3x-3cosx #

výmena # # Cosx podľa # Y #:

# 4y ^ 3-2y ^ 2-3y-1 = 0 #

# (Y-1) (4y ^ 2 + 2y-1) = 0 #

My to vieme #Y! = 1 #, takže musíme vyriešiť kvadratickú časť:

#y = (- 2 + -sqrt (2 ^ 2-4 * 4 * (- 1))) / (2 * 4) #

#y = (- 2 + -sqrt (20)) / 8 #

od tej doby #Y> 0 #, # Y = cos (2pi / 5) = (- 1 + sqrt (5)) / 4 #

Ukážte, že cos²π / 10 + cos²4π / 10 + cos² 6π / 10 + cos²9π / 10 = 2. Som trochu zmätený, ak urobím Cos²4π / 10 = cos² (π-6π / 10) & cos²9π / 10 = cos² (π-π / 10), bude záporný ako cos (180 ° -theta) = - costheta v druhý kvadrant. Ako mám ísť na preukázanie otázky?

Pozri nižšie. LHS = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((6pi) / 10) + cos ^ 2 ((9pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) = 2 * [cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [cos ^ 2 (pi / 2- (4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [sin ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * 1 = 2 = RHS

Ako zistíte presné hodnoty tan 112,5 stupňov pomocou polovičného uhla?

Tan (112,5) = - (1 + sqrt (2)) 112,5 = 112 1/2 = 225/2 Pozn .: Tento uhol leží v 2. kvadrante. => Tan (112,5) = tan (225/5) = sin (225/2) / cos (225/2) = - sqrt ([sin (225/2) / cos (225/2)] ^ 2) = -sqrt (sin ^ 2 (225/2) / cos ^ 2 (225/2)) Hovoríme, že je negatívny, pretože hodnota tan je v druhom kvadrante vždy negatívna! Ďalej použijeme nižšie uvedený polovičný uhol: sin ^ 2 (x / 2) = 1/2 (1-cosx) cos ^ 2 (x / 2) = 1/2 (1 + cosx) => tan (112,5) = -sqrt (sin ^ 2 (225/2) / cos ^ 2 (225/2)) = -sqrt ((1/2 (1-cos (225))) / (1/2 (1 + cos (225)) )))) = -sqrt ((1-cos (225)) / (1 + cos (225))) V

Jedno celé číslo je 15 viac ako 3/4 iného celého čísla. Súčet celých čísel je väčší ako 49. Ako zistíte najmenšie hodnoty pre tieto dve celé čísla?

2 celé čísla sú 20 a 30. Nech x je celé číslo Potom 3 / 4x + 15 je druhé celé číslo Keďže súčet celých čísel je väčší ako 49, x + 3 / 4x + 15> 49 x + 3 / 4x> 49 -15 7 / 4x> 34 x> 34x4 / 7 x> 19 3/7 Preto najmenšie celé číslo je 20 a druhé celé číslo je 20 x 3/4 + 15 = 15 + 15 = 30.