Aký je rozsah funkcie f (x) = 1 / (4 sin (x) + 2)?

odpoveď:

Rozsah je #R = (-infty, -1/2 uu 1/6, + infty #

vysvetlenie:

Všimnite si, že menovateľ je nedefinovaný kedykoľvek

# 4 hriech (x) + 2 = 0 #, to znamená, kedykoľvek

#x = x_ (1, n) = pi / 6 + n 2pi #

alebo

#x = x_ (2, n) = (5 pi) / 6 + n 2pi #, kde #nv ZZ # (# N # je celé číslo).

ako #X# kroky #x_ (1, n), # zdola, # F (x) # kroky # - infty #, ak #X# kroky #x_ (1, n), # zhora # F (x) # kroky # + Infty #, Je to kvôli rozdeleniu „takmer #-0# alebo #+0#'.

pre #x_ (2, n) # situácia je opačná. ako #X# kroky #x_ (2, n) # zdola, # F (x) # kroky # + Infty #, ak #X# kroky #x_ (2, n) # zhora # F (x) # kroky # # -Infty.

Dostaneme postupnosť intervalov, v ktorých # F (x) # je kontinuálna, ako je možné vidieť na grafe. Zvážte najprv "misy" (na ktorých koncoch funkcia fúka až # + Infty #). Ak v týchto intervaloch nájdeme miestne minimá, potom to vieme # F (x) # preberá všetky hodnoty medzi touto hodnotou a. t # + Infty #, Môžeme urobiť to isté pre "hore nohami misky", alebo "čiapky".

Všimli sme si, že najmenšia kladná hodnota sa získa vždy, keď menovateľ v roku 2006. T # F (x) # je taká veľká, ako je to len možné #sin (x) = 1 #, Preto sme dospeli k záveru, že najmenšia kladná hodnota # F (x) # je #1/(4*1 + 2) = 1/6#.

Podobne sa zistila najväčšia záporná hodnota #1/(4*(-1) + 2) = -1/2#.

Vzhľadom na kontinuitu # F (x) # v intervaloch medzi diskontinuitami a teóriou strednej hodnoty môžeme konštatovať, že rozsah # F (x) # je

#R = (-infty, -1/2 uu 1/6, + infty #

Tvrdé zátvorky znamenajú, že číslo je zahrnuté v intervale (napr. #-1/2#), zatiaľ čo mäkké zátvorky znamenajú, že číslo nie je zahrnuté.

graf {1 / (4sin (x) + 2) -10, 10, -5, 5}