Ako napíšete polynóm s funkciou minimálneho stupňa v štandardnej forme s reálnymi koeficientmi, ktorých nuly zahŕňajú -3,4 a 2-i?

odpoveď:

#P (X) = aq (X + 3) (X-4) (X-2 + i) (X-2-i) # s #aq v RR #.

vysvetlenie:

nechať # P # je to polynóm, o ktorom hovoríte. Predpokladám, že #P! = 0 # alebo by to bolo triviálne.

P má reálne koeficienty #P (alfa) = 0 => P (baralpha) = 0 #, To znamená, že existuje ďalší koreň pre P, #bar (2-i) = 2 + i #, preto tento formulár pre # P #:

#P (X) = a (X + 3) ^ (a_1) * (X-4) ^ (a_2) * (X - 2 + i) ^ (a_3) * (X-2-i) ^ (a_4) * Q (X) # s #a_j v NN #, #Q v RR X # a #a v RR # pretože chceme # P # mať reálne koeficienty.

Chceme stupeň # P # byť čo najmenší. ak #R (X) = a (X + 3) ^ (a_1) (X-4) ^ (a_2) (X-2 + i) ^ (a_3) (X-2-i) ^ (a_4) # potom #deg (P) = deg (R) + deg (Q) = súčet (a_j + 1) + deg (Q) #. #Q! = 0 # tak #deg (Q)> = 0 #, Ak chceme # P # mať čo najmenší možný stupeň #deg (Q) = 0 # (# Q # je len reálne číslo # Q #), preto #deg (P) = deg (R) # a tu to môžeme dokonca povedať #P = R #. #deg (P) # ak je to možné, bude čo najmenší #a_j = 0 #, tak #deg (P) = 4 #.

Takže teraz, #P (X) = a (X + 3) (X-4) (X-2 + i) (X-2-i) q #, Rozvíjajme to.

#P (X) = aq (X ^ 2 - X - 12) (X ^ 2-4X + 5) v RR X #, Takže tento výraz je najlepší # P # môžeme nájsť s týmito podmienkami!