Aká je najjednoduchšia radikálna forma sqrt115?

odpoveď:

Neexistuje jednoduchšia forma

vysvetlenie:

S radikálmi sa pokúšate faktorizovať argument, a zistite, či existujú nejaké štvorce, ktoré môžu byť „vyňaté z koreňa“.

Príklad: # Sqrt125 = sqrt (5xx5xx5) = sqrt (5 ^ 2) xxsqrt5 = 5sqrt5 #

V tomto prípade žiadne takéto šťastie:

# Sqrt115 = sqrt (5xx23) = sqrt5xxsqrt23 #

odpoveď:

#sqrt (115) # je už v najjednoduchšej forme.

vysvetlenie:

Primárna faktorizácia spoločnosti #115# je:

#115 = 5*23#

Keďže neexistujú žiadne štvorcové faktory, nie je možné zjednodušiť druhú odmocninu. Je možné ho vyjadriť ako produkt, ale to sa nepovažuje za jednoduchšie:

#sqrt (115) = sqrt (5) * sqrt (23) #

#COLOR (biely) () #

prémia

Spolu s iracionálnou odmocninou racionálneho čísla, #sqrt (115) # má opakovanú expanziu pokračujúcej frakcie:

#sqrt (115) = 10; bar (1,2,1,1,1,1,1,2,1,20) #

#=10 + 1/(1+1/(2+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(2+1/(1+1/(20+1/(1+…)))))))))))#

Predčasné predĺženie frakcie môžete skrátiť, aby sa pre ňu vytvorili racionálne aproximácie #sqrt (115) #.

Napríklad:

#sqrt (115) ~ ~ 10; 1,2,1,1,1,1,1,2,1 #

#= 10 + 1/(1+1/(2+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(2+1/1))))))))#

#=1126/105#

Skrátením tesne pred koncom opakujúcej sa časti pokračujúcej frakcie sme našli najjednoduchšiu racionálnu aproximáciu #sqrt (115) # ktorá spĺňa Pellovu rovnicu.

To je:

#115*105^2 = 1267875#

#1126^2 = 1267876#

líšia sa iba #1#.

Toto robí # 1126/105 ~ ~ 10.7bar (238095) # efektívnu aproximáciu pre #sqrt (115) ~ ~ 10.7238052947636 #