Bez použitia riešiteľskej funkcie kalkulačky, ako vyriešim rovnicu: x ^ 4-5x ^ 3-x ^ 2 + 11x-30 = 0?

odpoveď:

Nuly sú # X = 5 #, # X = -2 #, # X = 1 + -sqrt (2) i #

vysvetlenie:

#f (x) = x ^ 4-5x ^ 3-x ^ 2 + 11x-30 #

To nám je povedané # (X-5) # je faktor, preto ho rozdeľte:

# x ^ 4-5x ^ 3-x ^ 2 + 11x-30 = (x-5) (x ^ 3-x + 6) #

To nám je povedané # (X + 2) # je tiež faktorom, takže to rozdeľte na:

# x ^ 3-x + 6 = (x + 2) (x ^ 2-2x + 3) #

Diskriminačný faktor zostávajúceho kvadratického faktora je negatívny, ale stále môžeme použiť kvadratický vzorec na nájdenie komplexných koreňov:

# X ^ 2-2x + 3 # je vo forme # Ax ^ 2 + bx + c # s # A = 1 #, # B = -2 # a # C = 3 #.

Korene sú dané kvadratickým vzorcom:

#x = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

# = (2 + -sqrt ((- 2) ^ 2- (4 * 1 * 3))) / (2 * 1) #

# = (2 + -sqrt (4-12)) / 2 #

# = (2 + -sqrt (-8)) / 2 #

# = (2 + -sqrt (8) i) / 2 #

# = (2 + -2sqrt (2) i) / 2 #

# = 1 + -sqrt (2) i #

Skúsme to bez toho, aby sme to vedeli # (X-5) # a # (X + 2) # faktory.

Konštantný termín sa rovná koreňovému produktu

# 30 = r_1 * r_2 * r_3 * r_4 #.

Tento koeficient je celočíselná hodnota, ktorej faktormi sú #pm 1, pm 2, pm 5, pm3 # Skúmanie týchto hodnôt môžeme vidieť

#p (-2) = p (5) = 0 # získanie dvoch koreňov.

Môžeme reprezentovať polynóm ako

# x ^ 4 - 5 x ^ 3 - x ^ 2 + 11 x - 30 = (x-5) (x + 2) (x² + a x + b) #

Vypočítame pravú stranu a porovnáme obe strany

# -5 = a-3 #

# -1 = b-3a-10 #

# 11 = -10a-3b #

# -30 = 10b #

Riešenie pre # (A, b) # dostaneme # A = -2, b = 3 #

Vyhodnotenie koreňov # X ^ 2-2x + 3 = 0 # dostaneme # 1 - i sqrt 2, 1 + i sqrt 2 #