Otázka # 27939

odpoveď:

Ako uviedol Sudip Sinha # -1 + sqrt3i # NIE je nula. (Nezabudol som to skontrolovať.) Ostatné nuly sú # 1-sqrt3 i # a #1#.

vysvetlenie:

Pretože všetky koeficienty sú reálne čísla, v imaginárnych pároch sa musia vyskytnúť akékoľvek imaginárne nuly.

Z tohto dôvodu # 1-sqrt3 i # je nula.

ak # C # je nula # Z-c # je faktor, takže by sme sa mohli znásobiť

# (z- (1 + sqrt3 i)) (z- (1-sqrt3 i)) # získať # Z ^ 2-2z + 4 #

a potom rozdeliť #P (z) # kvadratické.

Je však rýchlejšie zvážiť možnú racionálnu nulu # P # najprv. Alebo pridajte koeficienty, aby ste to videli #1# je tiež nula.

odpoveď:

#1# a # 1 - sqrt3 i #

vysvetlenie:

Vo vašej otázke sa vyskytla chyba. Koreň by mal byť # 1 + sqrt3 i #, Môžete to overiť vložením hodnoty do výrazu. Ak je to koreň, výraz by mal byť vyhodnotený na nulu.

Tento výraz má všetky reálne koeficienty, takže podľa komplexného Konjugátu Roots Theorem (http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_conjugate_root_theorem) máme ten druhý komplexný koreň. # 1 - sqrt3 i #, Je zrejmé, že tretí koreň (povedzme) # A #) musí byť reálna, pretože nemôže mať komplexný konjugát; inak budú existovať 4 korene, čo nie je možné pre rovnicu 3. stupňa.

Poznámka

# (z - (1 - sqrt3 i)) (z - (1 + sqrt3 i)) #

# = ((z - 1) + sqrt3 i) ((z - 1) - sqrt3 i) #

# = ((z - 1) ^ 2 - (sqrt3 i) ^ 2) # (Odkedy # (z + a) (z - a) = z ^ 2 - a ^ 2 #.)

# = z ^ 2 - 2z + 1 - 3 (-1) #

# = z ^ 2 - 2z + 4 #

Pokúsime sa dostať tento faktor do výrazu.

Môžeme napísať:

# P (z) = z ^ 3 - 3z ^ 2 + 6z - 4 #

# = z (z ^ 2 - 2z + 4) - 1 (z ^ 2 - 2z + 4) #

# = (z - 1) (z ^ 2 - 2z + 4) #

# = (z - 1) (z - (1 - sqrt3 i)) (z - (1 + sqrt3 i)) #

odpoveď:

Ako intro si myslím, že koreň by mal byť #COLOR (modro) (1 + sqrt3) # a nie #COLOR (red) (- 1 + sqrt3) #

Na tomto základe moja odpoveď je:

#z v {1, "" 1 + sqrt3, "" 1-sqrt3} #

vysvetlenie:

Využitím myšlienky komplexných konjugátov a niektoré ďalšie cool triky.

#P (z) # je polynóm stupňa #3#, To znamená, že by to malo mať len #3# korene.

Jeden zaujímavý fakt o komplexných koreňoch je, že sa nikdy nevyskytujú samostatne konjugované páry.

Takže ak # 1 + isqrt3 # je jeden koreň, potom jeho konjugát: # 1-isqrt3 # určite je aj koreň!

A keďže je tu ešte len jeden koreň, môžeme nazvať tento koreň # Z = a #.

Nie je to zložité číslo, pretože komplexné korene sa vždy vyskytujú v pároch.

A pretože toto je posledný z #3# korene, po prvom nemôže byť žiadny iný pár!

V konečnom dôsledku faktory #P (z) # boli ľahko zistené # z- (1 + isqrt3) "," z- (1-isqrt3) "a" (z-a) #

Pozn.: Rozdiel medzi koreňom a faktorom je ten, že:

- Koreň môže byť # Z = 1 + i #

Ale zodpovedajúci faktor by bol # Z- (1 + i) #

Druhým trikom je, že faktoringom #P (z) # mali by sme niečo podobné:

#P (z) = z- (1 + isqrt3) z- (1-isqrt3) (z-a) #

Ďalej rozbaľte zátvorky, #P (z) = z ^ 2-z (1 + isqrt3 + 1-isqrt3) + (1 + isqrt3) (1-isqrt3) (z-a) #

# = z ^ 2-z (2) + (1 + 3) (z-a) #

# = z ^ 2-2z + 4 (z-a) #

# = Z ^ 3 + z ^ 2 (-a-2) + z (2a + 4) -4a #

Ďalej to prirovnávame k pôvodnému polynómu #P (z) = z ^ 3-3z ^ 2 + 6Z-4 #

# => Z ^ 3 + z ^ 2 (-a + 2) + z (2a + 4) -4a = z ^ 3-3z ^ 2 + 6Z-4 #

Keďže dva polynómy sú identické, porovnávame koeficienty # Z ^ 3 #, # Z ^ 2 #, # Z ^ 1 #a # Z ^ 0 #(konštantný termín) na oboch stranách,

V skutočnosti musíme len vybrať jednu rovnicu a vyriešiť ju # A #

Vyrovnanie konštantných podmienok, # => - 4a = -4 #

# => A = 1 #

Preto posledný koreň je #COLOR (modro) (z = 1) #