Pani Fox požiadala jej trieda je súčet 4,2 a druhá odmocnina 2 racionálne alebo iracionálne? Patrick odpovedal, že suma bude iracionálna. Uveďte, či je Patrick správny alebo nesprávny. Zdôvodnite svoje úvahy.

odpoveď:

Suma # 4.2 + sqrt2 # je iracionálne; zdedí vlastnosť nikdy sa opakujúcej desiatkovej expanzie #sqrt 2 #.

vysvetlenie:

iracionálne číslo je číslo, ktoré nemožno vyjadriť ako pomer dvoch celých čísel. Ak je číslo iracionálne, potom jeho desatinné rozšírenie pokračuje navždy bez vzoru a naopak.

To už vieme #sqrt 2 # je iracionálne. Začne sa desatinné rozšírenie:

#sqrt 2 = 1,414213562373095 … #

Číslo #4.2# je racionálne; môže byť vyjadrená ako #42/10.# Keď pridáme 4,2 k desiatkovej expanzii #sqrt 2 #, dostaneme:

#sqrt 2 + 4,2 = farba (biela) + 1,414213562373095 … #

#color (biela) (sqrt 2) farba (biela) + farba (biela) (4,2 =) + 4,2 #

#color (biela) (sqrt 2) farba (biela) + farba (biela) (4,2 =) pruh (farba (biela) (+) 5,614213562373095 …) #

Je ľahko vidieť, že táto suma tiež nekončí ani nemá opakujúci sa vzor, takže je tiež iracionálna.

Všeobecne platí, že súčet racionálneho čísla a iracionálneho čísla bude vždy iracionálny; argument je podobný vyššie.

odpoveď:

#COLOR (modrá) ("správne") #

vysvetlenie:

Ak začneme tvrdením, že súčet je racionálny: Všetky racionálne čísla môžu byť zapísané ako podiel dvoch celých čísel # A / bcolor (biely) (88) # #B! = 0 #

#4.2=21/5#

# 21/5 + sqrt (2) = a / b #

#sqrt (2) = a / b-21/5 #

#sqrt (2) = (5a-21b) / (5b) #

Produkt dvoch celých čísel je celé číslo:

Rozdiel dvoch celých čísel je celé číslo:

takže:

# 5a-21b # je celé číslo.

# # 5b je celé číslo.

Z toho dôvodu:

# (5a-21b) / (5b) # je racionálne.

Ale vieme to #sqrt (2) # je iracionálne, takže toto je rozpor s naším predpokladom, že suma bola racionálna, preto súčet iracionálneho čísla a racionálneho čísla je vždy iracionálny.