Čo je antiderivát 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2?

odpoveď:

# 1 / 2arctan (x-1) + (x-1) / (2 (x ^ 2-2x + 2)) + c #

vysvetlenie:

Takže tu máme integrál:

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

Zdá sa, že podoba kvadratickej reciprocity naznačuje, že tu bude fungovať goniometrická substitúcia. Takže najprv vyplňte štvorec, aby ste získali:

# x ^ 2-2x + 2 = (x-1) ^ 2 + 1 #

Potom použite substitúciu #u = x-1 # na odstránenie lineárneho:

# (du) / dx = 1 #

#rArr du = dx #

Môžeme teda bezpečne zmeniť premenné bez nežiaducich vedľajších účinkov:

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

# = int 1 / ((x-1) ^ 2 +1) ^ 2 dx #

# - = int 1 / (u ^ 2 + 1) ^ 2 du #

Toto je ideálna forma na vykonanie goniometrickej substitúcie; # u ^ 2 + 1 # navrhuje Pythagorean Identity # 1 + tan ^ 2theta = sec ^ 2theta #, takže aplikujeme substitúciu #u = tantheta # zjednodušiť menovateľa:

# (du) / (d theta) = sek ^ 2 theta #

#rArr du = sec ^ 2 theta d theta #

Takže integrál sa stáva:

#int 1 / (sek ^ 2 theta) ^ 2 * sek ^ 2 theta d theta #

# = int 1 / (sek ^ 2 theta) d theta #

# - = int cos ^ 2 theta d theta #

Teraz používame vzorec pre dvojitý uhol # # Cos aby sa tento antiderivát stal zvládnuteľnejším:

#cos (2theta) = 2cos ^ 2 theta - 1 #

#hArr cos ^ 2 theta = 1/2 (cos (2 theta) + 1) #

Potom ho vložte do integrálu:

# 1/2 int cos (2 theta) + 1 d theta #

# = 1/2 (theta + 1/2 sin (2 theta)) + c # (a znovu to s dvojitým uhlom vzorec pre # # Sin)

# = 1/2 theta + 1 / 2sinthetacostheta + c #

teraz, # x-1 = u = tan theta #

#rArr theta = arctan (x-1) #

# 1 + (x-1) ^ 2 = sec ^ 2 theta #

#rArr cos theta = 1 / sqrt (x ^ 2 - 2x +2) #

#sin theta = tan theta * cos theta #

#rArr sin theta = (x-1) / (sqrt (x ^ 2 + 2x + 2) #

#:. sintheta * costheta = (x-1) / (x ^ 2-2x + 2) #

Nakoniec sa dostaneme k bodu:

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

# = 1 / 2arctan (x-1) + (x-1) / (2 (x ^ 2-2x + 2)) + c #