Máme polovicu valca s polomerom r a výškou r namontovanou na vrchole štyroch obdĺžnikových stien výšky h. Máme 200π m ^ 2 plastovej fólie pre použitie pri stavbe tejto konštrukcie. Aká je hodnota r, ktorá umožňuje maximálnu hlasitosť?

odpoveď:

# R = 20 / sqrt (3) = (20sqrt (3)) / 3 #

vysvetlenie:

Dovoľte mi zopakovať otázku, ako ju chápem.

Za predpokladu, že povrchová plocha tohto objektu je # # 200P, maximalizujte hlasitosť.

plán

Poznaním plochy povrchu môžeme reprezentovať výšku # # H ako funkcia polomeru # R #, potom môžeme reprezentovať objem ako funkciu len jedného parametra - polomer # R #.

Túto funkciu je potrebné maximalizovať # R # ako parameter. To dáva hodnotu # R #.

Povrchová plocha obsahuje:

4 steny, ktoré tvoria bočný povrch hranola s obvodom základne # # 6R a výška # # H, ktoré majú celkovú rozlohu # # 6rh.

1 strecha, polovica bočného povrchu valca s polomerom # R # a výška # R #, ktorá má rozlohu #pi r ^ 2 #

2 strany strechy, polkruhy s polomerom # R #, ktorej celková plocha je. t #pi r ^ 2 #.

Výsledná celková povrchová plocha objektu je

#S = 6rh + 2pi r ^ 2 #

Vedieť, že je to rovnaké # # 200P, môžeme vyjadriť # # H z hľadiska # R #:

# 6rh + 2pir ^ 2 = 200P #

# r = (100pi-pir ^ 2) / (3r) = (100pi) / (3r) - pi / 3r ##

Objem tohto objektu má dve časti: pod strechou a vo vnútri strechy.

Pod strechou máme rovnobežník s plochou základne # 2r ^ 2 # a výška # # H, to je jeho objem

# V_1 = 2r ^ 2h = 200 / 3pir - 2 / 3pir ^ 3 #

Vo vnútri strechy máme pol valca s polomerom # R # a výška # R #, jeho objem je

# V_2 = 1 / 2pir ^ 3 #

Musíme maximalizovať funkciu

#V (r) = V_1 + V_2 = 200 / 3pir - 2 / 3pir ^ 3 + 1 / 2pir ^ 3 = 200 / 3pir - 1 / 6pir ^ 3 #

to vyzerá takto (nie mierka)

graf {2x-0.6x ^ 3 -5.12, 5.114, -2.56, 2.56}

Táto funkcia dosahuje svoje maximum, keď je derivát rovný nule pre pozitívny argument.

#V '(r) = 200 / 3pi - 1 / 2pi r ^ 2 #

V oblasti #r> 0 # rovná sa nule, keď # R = 20 / sqrt (3) = 20sqrt (3) / 3 #.

To je polomer, ktorý dáva najväčší objem vzhľadom na povrch a tvar objektu.