Prečo potrebujete nájsť trigonometrickú formu komplexného čísla?

V závislosti od toho, čo potrebujete urobiť s komplexnými číslami, môže byť trigonometrický formulár veľmi užitočný alebo veľmi trnitý.

Napríklad, nech # Z_1 = 1 + i #, # Z_2 = sqrt (3) + i # a # z_3 = -1 + i sqrt {3} #.

Počítajme dve trigonometrické formy:

# Theta_1 = arctan (1) = pi / 4 # a # Rho_1 = sqrt {1 + 1} = sqrt {2} #

# Theta_2 = arctan (1 / sqrt {3}) = pi / 6 # a # Rho_2 = sqrt {3 + 1} = 2 #

# theta_3 = pi + arctan (-sqrt {3}) = 2/3 pi # a # Rho_3 = sqrt {1 + 3} = 2 #

Takže trigonometrické formuláre sú:

# z_1 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) #

# z_2 = 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) #

# z_3 = 2 (cos (2/3 pi) + i sin (2/3 pi)) #

pridanie

Povedzme, že chcete počítať # Z_1 + z_2 + z_3 #, Ak použijete algebraický formulár, dostanete

# z_1 + z_2 + z_3 = (1 + i) + (sqrt {3} + i) + (- 1 + i sqrt {3}) = sqrt {3} + i (2 + sqrt {3}) #

Celkom ľahké. Teraz skúste s trigonometrickým formulárom …

# z_1 + z_2 + z_3 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) + 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) + 2 (cos (2/3 pi) + i sin (2/3 pi)) #

Ukazuje sa, že najkratší spôsob, ako pridať tieto dva výrazy, je vyriešiť cosines a sines, čo znamená … obrátiť sa na algebraickú formu!

Algebraická forma je často najlepšou formou pri pridávaní komplexných čísel.

násobenie

Teraz sa snažíme spočítať # Z_1 * z_2 * z_3 #, Použitie algebraických foriem vyžaduje veľa nepríjemných výpočtov. Riešenie tohto produktu s trigonometrickými formulármi je však jednoduchšie:

# z_1 * z_2 * z_3 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) * 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) * 2 (cos (2/3 pi) + i sin (2/3 pi) = 4 sqrt {2} (cos (pi / 4 + pi / 6 + 2/3 pi) + i sin (pi / 4 + pi / 6 + 2 / 3 pi)) = 4 sqrt {2} (cos (13/12 pi) + i sin (13/12 pi)) #

Zložky, ktoré dokazujú, že druhá z nich je z trigonometrie: dve adičné vzorce

#sin (alfa + beta) = sin (alfa) cos (beta) + sin (beta) cos (alfa) #

#cos (alfa + beta) = cos (alfa) cos (beta) -sin (alfa) sin (beta) #

Násobenie zložitých čísel je dokonca čistejšie (ale koncepčne nie jednoduchšie) v exponenciálnej forme.

V istom zmysle je trigonometrická forma určitým spôsobom medzi-algebraickou a exponenciálnou formou. Trigonometrický formulár je spôsob, ako prepínať medzi týmito dvoma. V tomto zmysle je to „slovník“ na prekladanie formulárov.