Každý obdĺžnik je 6 cm dlhý a 3 cm široký, majú spoločnú uhlopriečku PQ. Ako dokazujete, že tanalpha = 3/4?

odpoveď:

dostávam #tan alfa = tan (pi / 2 - 2 arctan (3/6)) = 3/4 #

vysvetlenie:

Fun. Môžem si predstaviť niekoľko rôznych spôsobov, ako to vidieť. Pre horizontálny obdĺžnik voláme horný ľavý S a vpravo dole R. Zavolajme vrchol čísla, roh druhého obdĺžnika, T.

Máme zhodné uhly QPR a QPT.

# tan QPR = tan QPT = frac {text {napr.}} {text {susediace}} = 3/6 = 1/2 #

Vzorec tangenciálneho dvojitého uhla nám dáva #tan RPT #

#tan (2x) = frac {2 tan x} {1 - tan ^ 2 x} #

#tan RPT = frac {2 (1/2)} {1 - (1/2) ^ 2} = 4/3 #

teraz # Alfa # je komplementárny uhol RPT (sčítavajú sa k # 90 ^ okruh #), takže

# tan alfa = detská postieľka RPT = 3/4 #

odpoveď:

Pozri nižšie.

vysvetlenie:

trojuholníky # # DeltaABP a # # DeltaCBQ sú pravouhlými trojuholníkmi, ktoré majú:

# AP = CQ = 3 # a

# / _ ABP = / _ CBQ # pretože sú to vertikálne uhly.

Preto sú dva trojuholníky zhodné.

To znamená:

# PB = BQ #

nechať # AB = x # a # BQ = y # potom:

# PB = y #

My to vieme:

# X + y = 6 # cm #COLOR (red) (rovnica 1) #

V trojuholníku # # DeltaABP:

# Y ^ 2 = x ^ 2 + 9 # #COLOR (red) (rovnica-2) #

Poďme vyriešiť # Y # z #COLOR (red) (rovnica 1) #:

# Y = 6-x #

Poďme to zapojiť #COLOR (red) (rovnica-2) #:

# (6-x) ^ 2 = x ^ 2 + 9 #

# 36-12x + x ^ 2 = x ^ 2 + 9 #

# 36-12x = 9 #

# 12x = 27 #

# X = 9/4 #

# Tanalpha = (AB) / (AP) = x / 3 = (9/4) / 3 = 9/12 = 3/4 #