Aké sú absolútne extrémy f (x) = x / (x ^ 2 + 25) na intervale [0,9]?

odpoveď:

absolútne maximum: #(5, 1/10)#

absolútne minimum: #(0, 0)#

vysvetlenie:

Vzhľadom na to: #f (x) = x / (x ^ 2 + 25) "na intervale" 0, 9 #

Absolútne extrémy možno nájsť vyhodnotením koncových bodov a zistením relatívnych maxim alebo minim a porovnaním ich maximálnych hodnôt # Y #-hodnoty.

Vyhodnotenie koncových bodov:

#f (0) = 0/25 = 0 => (0, 0) #

#f (9) = 9 / (9 ^ 2 + 25) = 9 / (81 + 25) = 9/106 => (9, 9/106) ~ ~ (9, 0,085) #

Nájdite akékoľvek relatívne minimá alebo maximá nastavením #f '(x) = 0 #.

Použiť pravidlo podielu: # (u / v) '= (vu' - uv ') / v ^ 2 #

nechať #u = x; "" u '= 1; "" v = x ^ 2 + 25; "" v '= 2x #

#f '(x) = ((x ^ 2 + 25) (1) - x (2x)) / (x ^ 2 + 25) ^ 2 #

#f '(x) = (-x ^ 2 + 25) / (x ^ 2 + 25) ^ 2 = 0 #

od tej doby # (x ^ 2 + 25) ^ 2 * 0 = 0 #, musíme len nastaviť čitateľ = 0

# -x ^ 2 + 25 = 0 #

# x ^ 2 = 25 #

kritické hodnoty: # x = + - 5 #

Pretože náš interval je #0, 9#, musíme sa len pozrieť #x = 5 #

#f (5) = 5 / (5 ^ 2 + 25) = 5/50 = 1/10 => (5, 1/10) #

Pomocou prvého derivátového testu nastavte intervaly na zistenie, či je tento bod relatívnym maximom alebo relatívnym minimom:

intervaly: #' '(0, 5),' ' (5, 9)#

testovacie hodnoty: # "" x = 1, "" x = 6 #

#f '(x): "" f' (1)> 0, f '(6) <0 #

To znamená na # F (5) # máme relatívne maximum, Toto sa stáva absolútnym maximom v intervale #0, 9#, pretože # Y #- hodnota bodu #(5, 1/10) = (5, 0.1)# je najvyššia # Y #- hodnota v intervale.

** Absolútne minimum nastáva na najnižšej úrovni # Y #hodnoty v koncovom bode #(0,0)**.#