odpoveď:
Najväčší spoločný deliteľ #2^32-2^24+2^16-2^8+1# a #2^8+1# je #1#
vysvetlenie:
Poznač si to:
#257 = 2^8+1 = 2^(2^3)+1#
je prvočíslo - v skutočnosti jeden z mála známych prvočísel Fermat.
Takže jediné možné spoločné faktory #2^8+1# a #2^32-2^24+2^16-2^8+1# sú #1# a #257#.
Ako ste však uviedli v otázke:
#2^32-2^24+2^16-2^8+1 = (2^40+1)/(2^8+1)#
má formu:
# x ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 = (x ^ 5 + y ^ 5) / (x + y) #
Jeden faktor # (x + y) = 2 ^ 8 + 1 # z #2^40+1# zodpovedá skutočnému piatemu koreňu jednoty a # (X + y) # nie je automaticky faktorom zostávajúcej kvartiky # X ^ 4-x ^ 3r + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 # ktorých ostatné lineárne faktory nie sú komplexné.
Môžeme manuálne rozdeliť # X ^ 4-x ^ 3r + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 # podľa # X + y # získať zvyšok polynómu a potom ho nahradiť # X = 2 ^ 8 # a # Y = 1 # skontrolovať, či to nie je zvláštny prípad …
# x ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 = (x + y) (x ^ 3-2x ^ 2y + 3xy ^ 2-4y ^ 3) + 5y ^ 4 #
Zvyšok je teda:
# 5y ^ 4 = 5 (farba (modrá) (1)) ^ 4 = 5 #
Keďže zvyšok je nenulový, #2^32-2^24+2^16-2^8+1# a #2^8+1# nemajú väčší spoločný faktor ako. t #1#.
