Aké sú extrémy a sedlové body f (x, y) = xy (1-x-y)?

odpoveď:

Body #(0,0),(1,0)#a #(0,1)# sú sedlové body. Bod #(1/3,1/3)# je miestny maximálny bod.

vysvetlenie:

Môžeme rozšíriť # F # na # F (x, y) = xy-x ^ 2y-xy ^ 2 #, Ďalej nájdite čiastkové deriváty a nastavte ich na nulu.

# frac {čiastkové f} {čiastkové x} = y-2xy-y ^ 2 = y (1-2x-y) = 0 #

# frac {čiastkové f} {čiastkové y} = x-x ^ 2-2xy = x (1-x-2y) = 0 #

Je zrejmé, # (X, y) = (0,0), (1,0), # a #(0,1)# sú riešenia tohto systému, a tak sú kritickými bodmi # F #, Ďalšie riešenie je možné nájsť v systéme # 1-2x-y = 0 #, # 1-x-2y = 0 #, Riešenie prvej rovnice pre # Y # z hľadiska #X# poskytuje # Y = 1-2x #, ktorý môže byť zapojený do druhej rovnice # 1-x-2 (1-2x) = 0 => -1 + 3x = 0 => x = 1/3 #, Odtiaľto, # Y = 1-2 (1/3) = 1-2 / 3 = 1/3 # tiež.

Na testovanie charakteru týchto kritických bodov nájdeme druhé deriváty:

# frac {čiastočne ^ {2} f} {čiastočné x ^ {2}} = - 2y #, # frac {čiastočne ^ {2} f} {čiastočne y ^ {2}} = - 2x #a # frac {čiastkové ^ {2} f} {čiastkové x čiastkové y} = frac {čiastočné ^ {2} f} {čiastkové y čiastkové x} = 1-2x-2y #.

Diskriminačný je preto:

# D = 4xy- (1-2x-2y) ^ 2 #

# = 4xy- (1-2x-2y-2x + 4x ^ 2 + 4xy-2y + 4xy + 4y ^ 2) #

# = 4x + 4y-4x ^ 2-4y ^ 2-4x-1 #

Pripojením prvých troch kritických bodov sa dá:

#D (0,0) = - 1 <0 #, #D (1,0) = 4-4-1 = -1 <0 #a #D (0,1) = 4-4-1 = -1 <0 #, aby tieto body sedlo body.

Zapojenie do posledného kritického bodu dáva #D (1 / 3,1 / 3) = 4/3 + 4 / 3-4 / 9-4 / 9-4 / 9-1 = 1/3> 0 #, Všimnite si tiež, že # frac {čiastočne ^ {2} f} {čiastočné x ^ {2}} (1 / 3,1 / 3) = - 2/3 <0 #, Z tohto dôvodu #(1/3,1/3)# je lokálna maximálna hodnota # F #, Môžete skontrolovať, či samotná lokálna maximálna hodnota je # F (1 / 3,1 / 3) = 1/27 #.

Nižšie je uvedený obrázok obrysovej mapy (úrovne kriviek) # F # (krivky, kde je výstup. t # F # je konštantná) spolu so 4 kritickými bodmi # F #.