Dva rohy trojuholníka majú uhly (3 pi) / 8 a pi / 6. Ak má jedna strana trojuholníka dĺžku 1, čo je najdlhší možný obvod trojuholníka?

odpoveď:

Približne je najdlhší možný obvod #4.8307#.

vysvetlenie:

Najprv nájdeme jeden zostávajúci uhol s použitím skutočnosti, že uhly trojuholníka sú sčítané # # Pi:

pre #triangle ABC #:

nechať #angle A = (3pi) / 8 #

nechať #angle B = pi / 6 #

potom

#angle C = pi - (3pi) / 8 - pi / 6 #

#color (biela) (uhol C) = pi - (9pi) / 24 - (4pi) / 24 #

#color (biela) (uhol C) = (11pi) / 24 #

Pre každý trojuholník je najkratšia strana vždy proti najmenšiemu uhlu. (To isté platí pre najdlhšiu stranu a najväčší uhol.)

Na maximalizáciu obvodu by mala byť jedna známa dĺžka strany najmenšia. Takže, pretože #angle B # je najmenší (v # Pi / 6 #), stanovili sme # B = 1 #.

Teraz môžeme použiť sínusový zákon na výpočet zostávajúcich dvoch strán:

#sin A / a = sinB / b #

# => a = b krát (sinA) / (sinB) #

#COLOR (biely) (=> a) = 1 * (sin ((3pi) / 8)) / (sin (pi / 6)) #

#color (biela) (=> a) ~ ~ 0.9239 / 0.5 "" "" = 1.8478 #

Podobný vzorec sa používa na zobrazenie #c ~ ~ 1.9829 #.

Pridanie týchto troch hodnôt (z # A #, # B #a # C #) spoločne poskytnú najdlhší možný obvod trojuholníka, ako je ten opísaný:

# P = "" a "" + b + "" c #

#COLOR (biela) P ~~ 1,8478 + 1 + 1,9829 #

#COLOR (biela), P = 4,8307 #

(Keďže ide o otázku geometrie, môžete byť požiadaný, aby ste poskytli odpoveď v presnej forme, s radikálmi. Toto je možné, ale trochu zdĺhavé kvôli odpovedi tu, preto som dal odpoveď ako odpoveď. približná desatinná hodnota.)

Dva rohy trojuholníka majú uhly (2 pi) / 3 a (pi) / 4. Ak má jedna strana trojuholníka dĺžku 12, čo je najdlhší možný obvod trojuholníka?

Najdlhší možný obvod je 12 + 40,155 + 32,786 = 84,941. Ako dva uhly sú (2pi) / 3 a pi / 4, tretí uhol je pi-pi / 8-pi / 6 = (12pi-8pi-3pi) / 24- = pi / 12. Pre najdlhšiu obvodovú stranu dĺžky 12, povedzme a, musí byť opačný najmenší uhol pi / 12 a potom sínusovým vzorcom budú ďalšie dve strany 12 / (sin (pi / 12)) = b / (sin ((2pi) / 3)) = c / (sin (pi / 4)) Teda b = (12sin ((2pi) / 3)) / (sin (pi / 12)) = (12xx0.866) /0.2588=40.155 a c = ( 12xxsin (pi / 4)) / (sin (pi / 12)) = (12xx0.7071) /0.2588=32.786 Preto najdlhší možný obvod je 12 + 40,155 + 32,786 = 8

Dva rohy trojuholníka majú uhly (2 pi) / 3 a (pi) / 4. Ak má jedna strana trojuholníka dĺžku 4, čo je najdlhší možný obvod trojuholníka?

P_max = 28,31 jednotiek Problém vám dáva dva z troch uhlov v ľubovoľnom trojuholníku. Pretože súčet uhlov v trojuholníku musí byť až 180 stupňov alebo pi radiánov, môžeme nájsť tretí uhol: (2pi) / 3 + pi / 4 + x = pi x = pi- (2pi) / 3- pi / 4 x = (12pi) / 12- (8pi) / 12- (3pi) / 12 x = pi / 12 Nakreslime trojuholník: Problém uvádza, že jedna zo strán trojuholníka má dĺžku 4, ale nešpecifikuje, na ktorej strane. Avšak v každom danom trojuholníku je pravda, že najmenšia strana bude oproti najmenšiemu uhlu. Ak chceme maximalizovať obvod,

Dva rohy trojuholníka majú uhly (2 pi) / 3 a (pi) / 4. Ak má jedna strana trojuholníka dĺžku 19, čo je najdlhší možný obvod trojuholníka?

Najdlhšia možná farba obvodu (zelená) (P = 19 + 51,909 + 63,5752 = 134,4842) Tri uhly sú (2pi) / 3, pi / 4, pi / 12 ako tri uhly sčítavajú k pi ^ c Ak chcete získať najdlhší obvod, strana 19 by mala zodpovedať najmenšiemu uhlu pi / 12 19 / sin (pi / 12) = b / sin (pi / 4) = c / sin ((2pi) / 3) b = (19 * sin (pi / 4) ) / sin (pi / 12) = 51,909 c = (19 * sin ((2pi) / 3) / sin (pi / 12) = 63,5752 Najdlhšia možná farba obvodu (zelená) (P = 19 + 51,909 + 63,5752 = 134,4842) )