Dva rohy trojuholníka majú uhly (2 pi) / 3 a (pi) / 4. Ak má jedna strana trojuholníka dĺžku 4, čo je najdlhší možný obvod trojuholníka?

odpoveď:

# P_max = 28.31 # Jednotky

vysvetlenie:

Problém vám dáva dva z troch uhlov v ľubovoľnom trojuholníku. Pretože súčet uhlov v trojuholníku musí byť až 180 stupňov, alebo # # Pi radiány, môžeme nájsť tretí uhol:

# (2pi) / 3 + pi / 4 + x = pi #

# X = PI (2pi) / 3-pi / 4 #

# X = (12pi) / 12- (8pi) / 12- (3pi) / 12 #

# X = pi / 12 #

Nakreslime trojuholník:

Problém uvádza, že jedna zo strán trojuholníka má dĺžku 4, ale nešpecifikuje, na ktorej strane. Avšak v každom danom trojuholníku je pravda, že najmenší strana bude oproti najmenšiemu uhlu.

Ak chceme maximalizovať obvod, mali by sme urobiť stranu s dĺžkou 4 stranou oproti najmenšiemu uhlu. Keďže ostatné dve strany budú väčšie ako 4, garantuje, že maximalizujeme obvod. Preto sa z trojuholníka stáva:

Nakoniec môžeme použiť práva sín nájsť dĺžky ostatných dvoch strán:

#sin (a) / A = sin (b) / B = sin (c) / C #

Pripojením sa dostaneme:

#sin (pi / 12) / 4 = sin (pi / 4) / x = sin ((2pi) / 3) / y #

Riešenie pre x a y dostaneme:

# X = 10,93 # a # Y = 13,38 #

Maximálny obvod je preto:

# P_max = 4 + 10,93 + 13,38 #

# P_max = 28.31 #

Poznámka: Keďže problém nešpecifikuje jednotky dĺžky na trojuholníku, stačí použiť "jednotky".