Trojuholník má rohy (4, 1), (2, 4) a (0, 2) #. Aké sú koncové body kolmých osí trojuholníka?

odpoveď:

Jednoduché koncové body sú stredové body, #(1,3), (2, 3/2), (3, 5/2)# a tie ťažšie sú tam, kde sa biskupi stretávajú s ostatnými stranami vrátane #(8/3,4/3).#

vysvetlenie:

Kolmicami kolmice trojuholníka sa pravdepodobne rozumie kolmica na oboch stranách trojuholníka. Pre každý trojuholník sú teda tri kolmé osi.

Každá kolmá os je definovaná tak, aby sa pretínala jednou stranou v jej strede. Bude tiež pretínať jednu z ostatných strán. Predpokladáme, že tieto dve stretnutia sú koncové body.

Stredy sú

# D = frac2 (B + C) = ((2 + 0) / 2, (4 + 2) / 2) = (1,3) #

# E = frac 1 2 (A + C) = (2, 3/2) #

# F = frac 1 2 (A + B) = (3, 5/2) #

Toto je pravdepodobne dobré miesto na oboznámenie sa s parametrickými reprezentáciami pre čiary a úsečky. # T # je parameter, ktorý sa môže pohybovať nad reals (pre riadok) alebo od #0# na #1# pre segment linky.

Označme body #A (4,1) #, # B (2,4) # a #C (0,2) #, Tri strany sú:

# AB: (x, y) = (1-t) A + tB #

#AB: (x, y) = (1-t) (4,1) + t (2,4) = (4-2t, 1 + 3t) #

# BC: (x, y) = (1-t) (2,4) + t (0,2) = (2-2t, 4-2t) #

# AC: (x, y) = (1-t) (4,1) + t (0,2) = (4-4t, 1 + t) #

ako # T # prechádza z nuly na jednu, z ktorej každá strana vysleduje.

Poďme pracovať jeden von. # D # je stred # # BC, # D = frac2 (B + C) = ((2 + 0) / 2, (4 + 2) / 2) = (1,3) #

Vektor smeru od C po B je # B-C = (2,2) #, Pre kolmicu, sme flip dva koeficienty (žiadny vplyv tu, pretože sú obaja #2#) a negovať jeden. Takže parametrická rovnica pre kolmicu

# (x, y) = (1,3) + t (2, -2) = (2u + 1, -2u + 3) #

(Iný riadok, iný parameter.) Môžeme vidieť, kde sa stretáva každá zo strán.

#BC: (2-2t, 4-2t) = (2u + 1, -2u + 3) #

# 1 = 2t + 2u #

# 1 = 2t - 2u #

# 2 = 4t #

# t = 1/2 #

# t = 1/2 # overuje, že kolmý bisector sa stretáva s BC v jeho strednom bode.

#AB: (4-2t, 1 + 3t) = (2u + 1, -2u + 3) #

# 4-2t = 2u + 1 #

# 2t + 2u = 3 #

# 1 + 3t = - 2u + 3 #

# 3t + 2u = 2 #

odčítanie, # t = 2-3 = - 1 #

To je mimo dosahu, takže kolmý bodec BC nenarazí na stranu AB.

# AC: 4-4t = 2u + 1 quad quad 3 = 4t + 2u #

# 1 + t = -2u + 3 quad quad 2 = t + 2u #

odčítanie, # 1 = 3t #

# t = 1/3 #

To dáva druhý koncový bod ako

# (4-4t, 1 + t) = (8/3, 4/3) #

Toto je dlhé, takže nechám ostatné dva koncové body pre vás.