Čo je lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2?

odpoveď:

#lim_ (x-> oo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 = oo #

vysvetlenie:

nechať # y = (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 #

# LNY = ln ((e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2) #

# LNY = LNE ^ (2x) + ln (sin (1 / x)) - LNX ^ 2 #

# LNY = 2xlne + ln (sin (1 / x)) - 2lnx #

# LNY = 2x + ln (sin (1 / x)) - 2lnx #

#lim_ (x-> oo) lny = 2x + ln (sin (1 / x)) - 2lnx #

#lim_ (x-> oo) lny = lim_ (x-> oo) 2x + ln (sin (1 / x)) - 2lnx #

#lim_ (x-> oo) LNY = oo #

# E ^ LNY = e ^ oo #

# Y = oo #

odpoveď:

#lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 = oo #, Pozrite si prosím vysvetlenie nižšie.

vysvetlenie:

#lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 #

Poznač si to: # (e ^ (2x) hriech (1 / x)) / x ^ 2 = e ^ (2x) / x ^ 3 * sin (1 / x) / (1 / x) #

Teraz, ako # # Xrarroo, prvý pomer sa zvyšuje bez viazania, zatiaľ čo druhý ide #1#.

#lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) hriech (1 / x)) / x ^ 2 = lim_ (xrarroo) e ^ (2x) / x ^ 3 * lim_ (xrarroo) hriech (1 / x) / (1 /X)#

# = oo #

Ďalšie vysvetlenie

Tu je odôvodnenie, ktoré viedlo k vyššie uvedenému riešeniu.

#lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 # má počiatočnú formu # (Oo * 0) / oo #.

Toto je neurčitá forma, ale na túto formu nemôžeme použiť l'Hospitalove pravidlo.

Mohli by sme ho prepísať ako # (E ^ (2 x)) / (x ^ 2 / sin (1 / x)) # získať formulár # Oo / oo # na ktoré by sme mohli aplikovať l'Hospital. Ja však nechcem vziať deriváciu tohto menovateľa.

Pripomeňme, že #lim_ (thetararr0) sintheta / theta = 1 #.

Tak, že #lim_ (xrarroo) sin (1 / x) / (1 / x) = 1 #.

To je to, čo motivuje prepisovanie použité vyššie.

# (e ^ (2x) hriech (1 / x)) / x ^ 2 = e ^ (2x) / x ^ 3 * sin (1 / x) / (1 / x) #.

ako #X# zvyšuje bez viazania, # E ^ x # ide do nekonečna oveľa rýchlejšie # X ^ 3 # (rýchlejší ako akýkoľvek výkon #X#).

takže, # e ^ (2x) = (e ^ x) ^ 2 # vybuchne ešte rýchlejšie.

Ak túto skutočnosť nemáte k dispozícii, použite pravidlo l'Hospital

#lim_ (xrarroo) e ^ (2x) / x ^ 3 = lim_ (xrarroo) (2e ^ (2x)) / (3x ^ 2) #

# = lim_ (xrarroo) (8e ^ (2x)) / (6) = oo #

Prečo lim_ (x-> oo) (sqrt (4x ^ 2 + x-1) -sqrt (x ^ 2-7x + 3)) = lim_ (x-> oo) (3x ^ 2 + 8x-4) / ( 2x + ... + x + ...) = oo?

"Pozri vysvetlenie" "Vynásobiť" 1 = (sqrt (4 x ^ 2 + x - 1) + sqrt (x ^ 2 - 7 x + 3)) / (sqrt (4 x ^ 2 + x - 1) + sqrt (x ^ 2 - 7 x + 3)) "Potom dostanete" lim_ {x-> oo} (3 x ^ 2 + 8 x - 4) / (sqrt (4 x ^ 2 + x - 1) + sqrt ( x ^ 2 - 7 x + 3)) "(pretože" (ab) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 ")" = lim_ {x-> oo} (3 x ^ 2 + 8 x - 4) / (sqrt (4 x ^ 2 (1 + 1 / (4x) - 1 / (4x ^ 2)) + sqrt (x ^ 2 (1 - 7 / x + 3 / x ^ 2)) = lim {x-> oo} (3 x ^ 2 + 8 x - 4) / (2x sqrt (1 + 0 - 0) + x sqrt (1 - 0 + 0)) "(pretože" lim_ {x-> oo} 1 / x = 0 ")" = lim {x-> oo}

Čo je rovnaké? lim_ (x-> pi / 2) sin (cosx) / (cos ^ 2 (x / 2) -sin ^ 2 (x / 2)) =?

1 "Všimnite si, že:" farba (červená) (cos ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x) = cos (2x)) "Takže tu máme" lim_ {x-> pi / 2} sin (cos (x )) / cos (x) "Teraz platí pravidlo de l 'Hôptial:" = lim_ {x-> pi / 2} cos (cos (x)) * (- sin (x)) / (- sin (x)) = lim_ {x-> pi / 2} cos (cos (x)) = cos (cos (pi / 2)) = cos (0) = 1

Aká je hodnota? lim_ (x-> 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2.dt) / sin x ^ 2

Lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2 dt) / (sin x ^ 2) = 0 Hľadáme: L = lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2 dt) / (sin x ^ 2) Čitateľ aj menovateľ2 rarr 0 ako x rarr 0. teda limit L (ak existuje) je neurčitej formy 0/0 a následne môžeme použiť pravidlo L'Hôpital na získanie: L = lim_ (x rarr 0) (d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt) / (d / dx sin (x ^ 2)) = lim_ (x rarr 0) (d / dx int_0 ^ x hriech ( t ^ 2) dt) / (d / dx hriech (x ^ 2)) Teraz, s použitím základnej vety počtu: d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt = sin (x ^ 2) A, d / dx sin (x ^ 2) = 2xcos (x ^ 2) A tak: L = lim_ (x rarr 0) sin