Aká je hodnota? lim_ (x-> 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2.dt) / sin x ^ 2

odpoveď:

# lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2 dt) / (sin x ^ 2) = 0 #

vysvetlenie:

Hľadáme:

# L = lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2 dt) / (sin x ^ 2) #

Čitateľ aj menovateľ2 #rarr 0 # ako #x rarr 0 #, limit # L # (ak existuje) má neurčitú formu #0/0#a následne môžeme použiť pravidlo L'Hôpital na získanie:

# L = lim_ (x rarr 0) (d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt) / (d / dx sin (x ^ 2)) #

# = lim_ (x rarr 0) (d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt) / (d / dx sin (x ^ 2)) #

Teraz, použitím základnej vety kalkulu:

# d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt = sin (x ^ 2) #

a

# d / dx sin (x ^ 2) = 2xcos (x ^ 2) #

A tak:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (x ^ 2) / (2xcos (x ^ 2)) #

Opäť je to neurčitá forma #0/0#a následne môžeme opäť použiť pravidlo L'Hôpital, aby sme získali:

# L = lim_ (x rarr 0) (d / dx sin (x ^ 2)) / (d / dx 2xcos (x ^ 2)) #

= lim_ (x rarr 0) (2xcos (x ^ 2)) / (2cos (x ^ 2) -4x ^ 2sin (x ^ 2)) #

Čo môžeme hodnotiť:

# L = (0) / (2-0) = 0 #